Baza, wymiar przestrzeni.

[apacz]

Cześć,
Mam takie zadanka:
1. Wykazać, że w każdej przestrzeni wektorowej n-wymiarowej istnieją podprzestrzenie o wymiarze \(\displaystyle{ 1, 2, ..., n - 1}\).
2. Wykazać, że wektory \(\displaystyle{ (1, 4, 3), (-1, 2, -1), (0, 6, 4)}\) tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V_{3}(R)}\).
3. Wykazać, że w przestrzeni \(\displaystyle{ V_{n}(F)}\) zbiór wektorów \(\displaystyle{ (x_{1}, ..., x_{n})}\), dla których\(\displaystyle{ x_{1} + ... + x_{n} = 0}\), jest \(\displaystyle{ (n-1)}\)-wymiarową podprzestrzenią. Znaleźć jej bazę.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu ich.
Jeszcze mam takie pytanie. Czy wymiar przestrzeni, mówi nam ile współrzędnych będzie mieć dany wektor ? Tzn czy jeśli mamy przestrzeń \(\displaystyle{ n}\) wymiarową to każdy wektor w niej będzie mieć postać \(\displaystyle{ (x_{1}, ..., x_{n})}\) ? I czy ta \(\displaystyle{ 3}\) w dolnym indeksie przy \(\displaystyle{ V}\) oznacza wymiar przestrzeni (w drugim zadaniu)? Bo jeśli tak to wystarczy chyba zbadać, czy te 3 wektory są liniowo niezależne.

[dyfeomorfizm]

1) niech \(\displaystyle{ k=1,2,3,...,n-1}\) wtedy zbiory:
\(\displaystyle{ V=\{(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k},0,0,0,...,0)\}}\)
sa k-wymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi danej przestrzeni