Wyznacznik macierzy metodą Laplace

[krasnolud]

Witam
mam problem z rozwiązaniem macierzy metoda la place'a, staram sie to ogarnąć ale nie potrafie, a wykładowca sam się w tym pogubił i zrobił kilka błędów przez które nie potrafię zrobić tego zadania.
Może mi ktoś pomóc? Jeśli nie sprawi to kłopotu proszę o rozpisanie rozwiązania i wytłumaczenia każdego kroku. macierz wygląda tak :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&0&-2\\11&4&0&1\\0&0&6&4\\6&3&5&0\end{array}\right]}\)

z góry dziękuje i pozdrawiam.

[fibonacci1101]

Witam
mam problem z rozwiązaniem macierzy metoda la place'a, staram sie to ogarnąć ale nie potrafie, a wykładowca sam się w tym pogubił i zrobił kilka błędów przez które nie potrafię zrobić tego zadania.
Może mi ktoś pomóc? Jeśli nie sprawi to kłopotu proszę o rozpisanie rozwiązania i wytłumaczenia każdego kroku. macierz wygląda tak :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&0&-2\\11&4&0&1\\0&0&6&4\\6&3&5&0\end{array}\right]}\)

z góry dziękuje i pozdrawiam.

Najpierw musisz uzyskać jak trzy zera w którymś wierszu lub kolumnie. Robisz to poprzez dodanie lub odjęcie któregoś z wierszy/którejś z kolumn (lub ich wielokrotności) do innych wierszy/kolumn. W tym przypadku można np. przemnożyć kolumnę drugą przez 2 i dodać do kolumny czwartej. Czyli z kolumny
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1\\4\\0\\3\end{array}\right]}\)
po przemnożeniu powstaje Ci kolumna
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2\\8\\0\\6\end{array}\right]}\)
i dodajesz ja do kolumny czwartej w wyniku czego otrzymujesz następująca macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\11&4&0&9\\0&0&6&4\\6&3&5&6\end{array}\right]}\)
Teraz jak widać w pierwszym wierszu masz trzy zera i jedynkę, wykreślasz więc ten wiersz i kolumnę z jedynką i otrzymujesz macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}11&0&9\\0&6&4\\6&5&6\end{array}\right]}\)
Wykreśliłeś pierwszy wiersz i drugą kolumnę więc teraz liczysz wyznacznik dla macierzy 3x3 w następujący sposób:
\(\displaystyle{ (-1)^{1+2} \cdot 1 \cdot \left[\begin{array}{cccc}11&0&9\\0&6&4\\6&5&6\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ (-1)^{1+2}}\) bo wykreśliłeś 1. wiersz i 2. kolumnę, \(\displaystyle{ \cdot 1}\) bo 1 była na przecięciu wiersza i kolumny która wykreśliłeś. Wyznacznik dla macierzy 3x3 już chyba wiesz jak policzyć (metoda Sarrusa) póżniej wystarczy go przemnożyć przez \(\displaystyle{ (-1)^{1+2} \cdot 1}\) czyli przez \(\displaystyle{ -1}\)
Z Sarrusa powinno Ci wyjść \(\displaystyle{ -148}\), pomnożone później przez \(\displaystyle{ -1}\) ostatecznie powinno dać \(\displaystyle{ 148}\)

[krasnolud]

Dzięki wielkie, uratowałeś mi życie, teraz wszystko rozumiem
Pozdrawiam