Dowód - jedno rozwiązanie równania

[pawellogrd]

Mam za zadanie dowieść, że równanie \(\displaystyle{ x=\left( k I + A^T A \right)^{-1} A^T b}\) ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie, gdzie \(\displaystyle{ k > 0}\), \(\displaystyle{ I}\) to macierz jednostkowa wymiaru \(\displaystyle{ NxM}\) oraz \(\displaystyle{ A}\) to dowolna macierz wymiaru \(\displaystyle{ NxM}\) . Jako wskazówka jest podane, że macierz dodatnio określona jest zawsze odwracalna. Niestety nie bardzo wiem jak i gdzie tutaj to wykorzystać.

Z góry dziękuję za pomoc.

[szw1710]

Najpierw chciałbym zobaczyć kontekst, w jakim to zadanie się pojawia. Bez niego to zabawa w sztukę dla sztuki. A często same okoliczności powstania zadania sugerują sposób jego rozwiązania.

Teraz komentarz ogólny, w żaden sposób nie kierowany do Autora wątku.

Matematyka nie polega na wymyślaniu coraz to bardziej skomplikowanych równań. One pojawiają się zawsze w konkretny sposób, z czegoś wynikają, gdzieś są potrzebne aby można było coś dalszego pokazać itp. Podanie równania bez kontekstu to najgorszy z możliwych sposobów uprawiania matematyki, jako że przekształca ją w ekwilibrystykę.

[pawellogrd]

Rozumiem, że kontekst jest przydatny, więc napiszę wszystko, co o tym wiem. Ten dowód to całe zadanie, nie zostało wyrwane z kontekstu natomiast samo równanie pokazuje optymalną wartość parametru \(\displaystyle{ x}\) w liniowym zadaniu najmniejszych kwadratów z regularyzacją Tichonowa, tj. taką wartość tego parametru, która minimalizuje nastepujące kryterium: \(\displaystyle{ Q(x)=\frac{1}{2} \left| \left| b- A x \right| \right|_2^2 + \frac{k}{2}\left| \left| x \right| \right|_2^2}\)-- 2 kwi 2013, o 23:15 --Przepraszam, że podbijam, ale to naprawdę istotne zadanie dla mnie i może akurat jeszcze ktoś będzie w stanie to przeczytać i pomóc