sens logiczny zadania z tensorami

[Arch_Stanton]

Zadanie: Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ T_{i}}\) są komponentami kowariantnego wektora, to \(\displaystyle{ S_{ij} \equiv T_{i} T_{j} - T_{j} T_{i}}\) są komponentami antysymetrycznego kowariantnego tensora.

A więc, antysymetryczność jest oczywista i zadanie jest proste (tym bardziej, że mam rozwiązanie w książce): \(\displaystyle{ \overline{T_{i}} \ \overline{T_{j}} - \overline{T_{j}}\ \overline{T_{i}} = T_{r} \frac{ \partial x^{r}}{ \partial \overline{x}^{i}} \cdot T_{s} \frac{ \partial x^{s}}{ \partial \overline{x}^{j}} - T_{s} \frac{ \partial x^{s}}{ \partial \overline{x}^{j}} \cdot T_{r} \frac{ \partial x^{r}}{ \partial \overline{x}^{i}} = (T_{r} T_{s} - T_{s} T_{r}) \frac{ \partial x^{r}}{ \partial \overline{x}^{i}} \frac{ \partial x^{s}}{ \partial \overline{x}^{j}} = \overline{S}_{ij}}\)

Rzecz w tym, że nie znalazłem pola wektorowego, dla którego \(\displaystyle{ S_{ij} \equiv T_{i} T_{j} - T_{j} T_{i} \not\equiv 0}\), tzn. mnożenie jest komutatywne i zawsze wszystko się skraca, więc jaki jest sens tego zadania?
\(\displaystyle{ S_{ij}\equiv 0}\), a każda macierz zerowa jest tensorem i to samo w sobie jest poniekąd rozwiązaniem zadania.

Przykład: \(\displaystyle{ T_{i} = (x^1,x^1+x^2)}\)
\(\displaystyle{ S_{12} = T_{1} T_{2} - T_{2} T_{1} = x^1 \cdot (x^1+x^2) - (x^1+x^2) \cdot x^1 = 0}\)
\(\displaystyle{ S_{ij} = T_{i} T_{j} - T_{j} T_{i} = T_{i} T_{j} - T_{i} T_{j} = 0}\)

[Kartezjusz]

Ale czy to musi być wektor \(\displaystyle{ R^{n}}\) ?

[Arch_Stanton]

A czy są inne możliwości?
Zostały zdefiniowane jako wektory w \(\displaystyle{ R^{n}}\) więc powinien ale jeśli nie to mogły by zostać rozszerzone na przestrzeń zespoloną, chociaż nie wiem co by się zmieniło.
Komponentami wektora nie mogą być macierze bo to też bez sensu?