Jeśli \(\displaystyle{ B \in lin(A_1,...,A_n), to lin(A_1,...,A_n)=lin(BA_1,...,A_n)}\)
Dlaczego mnożymy ten wektor? O co chodzi w tym lemacie?-- 26 mar 2013, o 18:39 --tam po B nie powinien być przecinek?
Lemat w przestrzeniach liniowo niezależnych.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Lemat w przestrzeniach liniowo niezależnych.
Powinien być przecinek, inaczej zapis nie ma sensu.
Cały lemat mówi tyle, że nic więcej nie wygenerujesz, jeśli do zbioru generatorów weźmiesz element liniowo zależny od tych generatorów.
W ogóle polecam kurs na ważniaku
gdzie masz sporo rzeczy dobrze wypisanych. Autorami tego kursu są ludzie, których znam, i który prowadzą bardzo dobre wykłady/ćwiczenia.
Cały lemat mówi tyle, że nic więcej nie wygenerujesz, jeśli do zbioru generatorów weźmiesz element liniowo zależny od tych generatorów.
W ogóle polecam kurs na ważniaku
gdzie masz sporo rzeczy dobrze wypisanych. Autorami tego kursu są ludzie, których znam, i który prowadzą bardzo dobre wykłady/ćwiczenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 1185
- Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tu i tam
- Podziękował: 528 razy
- Pomógł: 5 razy
Lemat w przestrzeniach liniowo niezależnych.
Dziękuję, ciekawy ten ważniak .
Niech \(\displaystyle{ v_1,...v_n}\) będzie układem liniowo niezależnym. Wtedy każdy jego podukład jest też liniowo niezależny.
Dowód
Można założyć, że dany podukład składa się z wektorów \(\displaystyle{ v_1,..., v_k}\), gdzie \(\displaystyle{ k<n}\). Niech \(\displaystyle{ \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k=0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k+0\cdot v_{k+1}+...+0\cdot v_{n}=0.}\)
Korzystając teraz z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ v_1,...,v_n}\) dostajemy, że wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ \lambda _1,...,\lambda _k}\) są zerami.
Czy w tym dowodzie korzystaliśmy z Twierdzenia Steinza o wymianie?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Lemat w przestrzeniach liniowo niezależnych.
Aha
Nie, nie korzystamy z tego twierdzenia. Szczególnie że jest ono mocne i zupełnie niepotrzebne w tym zadaniu.
Nie, nie korzystamy z tego twierdzenia. Szczególnie że jest ono mocne i zupełnie niepotrzebne w tym zadaniu.
-
- Użytkownik
- Posty: 1185
- Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tu i tam
- Podziękował: 528 razy
- Pomógł: 5 razy
Lemat w przestrzeniach liniowo niezależnych.
U mnie to twierdzenie było sformuowane na wykładzie inaczej :
Przypuśmy, że \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) jest liniowo niezależny i \(\displaystyle{ a_i \in lin(b_1,...,b_m)}\) dla \(\displaystyle{ i=1,..n}\). Wtedy \(\displaystyle{ n \le m}\) oraz istnieje \(\displaystyle{ k=m-n}\) wektorów \(\displaystyle{ c_1,..,c_k}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \{b_1,...,b_m\}}\) takich, że \(\displaystyle{ lin(b_1,...,b_m)=lin(a_1,..,a_n,c_1,...,c_k)}\).
Nie może go użyć, bo nie możemy założyć, że \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) jest liniowo zależne, tak? Raczej wykorzystujemy to w 2 stronę?-- 26 mar 2013, o 20:06 --w 2 stronę, to znaczy, przy dowodzie tego twierdzenia?
Przypuśmy, że \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) jest liniowo niezależny i \(\displaystyle{ a_i \in lin(b_1,...,b_m)}\) dla \(\displaystyle{ i=1,..n}\). Wtedy \(\displaystyle{ n \le m}\) oraz istnieje \(\displaystyle{ k=m-n}\) wektorów \(\displaystyle{ c_1,..,c_k}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \{b_1,...,b_m\}}\) takich, że \(\displaystyle{ lin(b_1,...,b_m)=lin(a_1,..,a_n,c_1,...,c_k)}\).
Nie może go użyć, bo nie możemy założyć, że \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) jest liniowo zależne, tak? Raczej wykorzystujemy to w 2 stronę?-- 26 mar 2013, o 20:06 --w 2 stronę, to znaczy, przy dowodzie tego twierdzenia?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Lemat w przestrzeniach liniowo niezależnych.
Może ustalmy najpierw, czego chcesz dowieść. Ja obecnie nie wiem. Czy
czy\(\displaystyle{ B \in lin(A_1,...,A_n), to lin(A_1,...,A_n)=lin(BA_1,...,A_n)}\)
szczególnie, że oba twierdzenia są udowodnione na ważniaku.myszka9 pisze:
Niech \(\displaystyle{ v_1,...v_n}\) będzie układem liniowo niezależnym. Wtedy każdy jego podukład jest też liniowo niezależny.
Dowód
Można założyć, że dany podukład składa się z wektorów \(\displaystyle{ v_1,..., v_k}\), gdzie \(\displaystyle{ k<n}\). Niech \(\displaystyle{ \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k=0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k+0\cdot v_{k+1}+...+0\cdot v_{n}=0.}\)
Korzystając teraz z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ v_1,...,v_n}\) dostajemy, że wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ \lambda _1,...,\lambda _k}\) są zerami.