Lemat w przestrzeniach liniowo niezależnych.

[myszka9]

Jeśli \(\displaystyle{ B \in lin(A_1,...,A_n), to lin(A_1,...,A_n)=lin(BA_1,...,A_n)}\)

Dlaczego mnożymy ten wektor? O co chodzi w tym lemacie?-- 26 mar 2013, o 18:39 --tam po B nie powinien być przecinek?

[yorgin]

Powinien być przecinek, inaczej zapis nie ma sensu.

Cały lemat mówi tyle, że nic więcej nie wygenerujesz, jeśli do zbioru generatorów weźmiesz element liniowo zależny od tych generatorów.

W ogóle polecam kurs na ważniaku



gdzie masz sporo rzeczy dobrze wypisanych. Autorami tego kursu są ludzie, których znam, i który prowadzą bardzo dobre wykłady/ćwiczenia.

[myszka9]

Niech \(\displaystyle{ v_1,...v_n}\) będzie układem liniowo niezależnym. Wtedy każdy jego podukład jest też liniowo niezależny.

Dowód

Można założyć, że dany podukład składa się z wektorów \(\displaystyle{ v_1,..., v_k}\), gdzie \(\displaystyle{ k<n}\). Niech \(\displaystyle{ \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k=0}\). Wtedy


\(\displaystyle{ \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k+0\cdot v_{k+1}+...+0\cdot v_{n}=0.}\)


Korzystając teraz z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ v_1,...,v_n}\) dostajemy, że wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ \lambda _1,...,\lambda _k}\) są zerami.

Dziękuję, ciekawy ten ważniak .
Czy w tym dowodzie korzystaliśmy z Twierdzenia Steinza o wymianie?

[yorgin]

Ja nie wiem co to jest twierdzenie Steinza o wymiarze - pierwsze słyszę.

[myszka9]

WYMIANIE , nie wymiarze ... o_wymianie

[yorgin]

Aha

Nie, nie korzystamy z tego twierdzenia. Szczególnie że jest ono mocne i zupełnie niepotrzebne w tym zadaniu.

[myszka9]

U mnie to twierdzenie było sformuowane na wykładzie inaczej :

Przypuśmy, że \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) jest liniowo niezależny i \(\displaystyle{ a_i \in lin(b_1,...,b_m)}\) dla \(\displaystyle{ i=1,..n}\). Wtedy \(\displaystyle{ n \le m}\) oraz istnieje \(\displaystyle{ k=m-n}\) wektorów \(\displaystyle{ c_1,..,c_k}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \{b_1,...,b_m\}}\) takich, że \(\displaystyle{ lin(b_1,...,b_m)=lin(a_1,..,a_n,c_1,...,c_k)}\).

Nie może go użyć, bo nie możemy założyć, że \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) jest liniowo zależne, tak? Raczej wykorzystujemy to w 2 stronę?-- 26 mar 2013, o 20:06 --w 2 stronę, to znaczy, przy dowodzie tego twierdzenia?

[yorgin]

Może ustalmy najpierw, czego chcesz dowieść. Ja obecnie nie wiem. Czy

\(\displaystyle{ B \in lin(A_1,...,A_n), to lin(A_1,...,A_n)=lin(BA_1,...,A_n)}\)

czy

Niech \(\displaystyle{ v_1,...v_n}\) będzie układem liniowo niezależnym. Wtedy każdy jego podukład jest też liniowo niezależny.

Dowód

Można założyć, że dany podukład składa się z wektorów \(\displaystyle{ v_1,..., v_k}\), gdzie \(\displaystyle{ k<n}\). Niech \(\displaystyle{ \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k=0}\). Wtedy


\(\displaystyle{ \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k+0\cdot v_{k+1}+...+0\cdot v_{n}=0.}\)


Korzystając teraz z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ v_1,...,v_n}\) dostajemy, że wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ \lambda _1,...,\lambda _k}\) są zerami.

szczególnie, że oba twierdzenia są udowodnione na ważniaku.