Podprzestrzenie niezmiennicze i ślad macierzy

[andrzejek93]

1.Przypuśćmy, że endomorfizm \(\displaystyle{ \phi : V \rightarrow V}\) jest diagonalizowalny, \(\displaystyle{ V}\) jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\). Opisz wszystkie podprzestrzenie \(\displaystyle{ V}\) \(\displaystyle{ \phi}\) -niezmiennicze.

2.Niech \(\displaystyle{ M_{n \times n}(\mathbb{K})}\) oznacza przestrzeń macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) o współczynnikach z ciała \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) . Niech \(\displaystyle{ T: M_{n \times n}(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K}}\) będzie funkcjonałem liniowym takim, że \(\displaystyle{ T(AB)=T(BA)}\) dla dowolnych macierzy \(\displaystyle{ A, B}\). Wykaż, że istnieje \(\displaystyle{ s \in \mathbb{K}}\) takie, że \(\displaystyle{ T(A)=s(tr A)}\).

Jeśli chodzi o zadanie pierwsze to będą wszystkie podprzestrzenie których bazą są wektory własne tego endomorfizmu. Natomiast nie wiem czy będą jakieś inne, a jeśli nie to jak to wykazać.

Na zadanie drugie niestety nie mam żadnego pomysłu.

Proszę o pomoc, pozdrawiam.

[brzoskwinka1]

2. Skorzystaj następującej własności:
\(\displaystyle{ \mbox{ Tr}A =0 \Rightarrow \exists_{C ,D \in M_n (\mathbb{\mathbb{K}} )} A =CD-DC,}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{K} =\mathbb{R} \vee \mathbb{K} =\mathbb{C} .}\)

Dowód tej własności masz tutaj: ... a-subspace