Definicja, a twierdzenie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: myszka9 »

Def bazy wyraźnie zaznacza, że baza ma być układem liniowo niezależnych wektorów, po co więc takie twierdzenie :

układ \(\displaystyle{ (a_1,..,a_n)}\) wektorów przestrzeni jest bazą, wtw gdy kazdy wektor \(\displaystyle{ a\in V}\) ma jednoznaczne przedstawienie jako komibnacja liniowa wektorów \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) ?
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: octahedron »

A co w tym twierdzeniu jest nie tak?
lesmate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 4 wrz 2012, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 39 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: lesmate »

dla mnie to twierdzenie nadaje sens określenia bazy, nadaje przestrzeni liniowej taką własność
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: myszka9 »

Przepraszam, nie wyraziłam się konkretnie o co mi chodzi.
Dla mnie te warunki są identyczne, trochę się dziwię, że w definicji bazy mam zawartą liniową niezależność, a dodatkowo mam jakieś twierdzenie na ten temat.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: yorgin »

Tak, ale sama liniowa niezależność wektorów to za mało. Te wektory muszą wygenerować całą przestrzeń liniową - inaczej nie można mówić o bazie.
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: myszka9 »

Def bazy :

Pozbiór \(\displaystyle{ B}\) przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\) nazywamy bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), jesli :
a)\(\displaystyle{ V=lin(B)}\)
b)\(\displaystyle{ \forall_{a_1,...,a_n \in B} (a_1,...,a_n)}\) liniowo niezależny układ wektorów, dla \(\displaystyle{ n\in \NN.}\)

tw.
Układ \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) wektorów przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) jest bazą, wtw gdy każdy wektor ain V ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów \(\displaystyle{ a_1,...,a_n.}\)


To to samo, tylko w skrócie, tak?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: Zordon »

Nie, zauważ że jest mowa o jednoznaczności, podczas gdy w definicji tego nie ma.

Swoją drogą, Twoja definicja bazy jest błędna. Powinno być \(\displaystyle{ \forall a_1, a_2, ..., a_n \in B \mbox{ parami różnych} ...}\).
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: myszka9 »

Hmmmm....A dlaczego ta jednoznaczność jest taka kluczowa?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: Zordon »

np. każdą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n>1}\) da się zapisać jako sumę dwóch liczb naturalnych, racja? Ale czy jednoznacznie?
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: myszka9 »

no nie.. ale dlaczego to jest takie istotne?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: yorgin »

Jak nie masz jednoznacznego rozkładu na kombinację liniową, to nie masz bazy. Zwykła prosta charakteryzacja baz skończonych.
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: myszka9 »

no ale jak jest jednoznaczne przedstawienie, to znaczy, że są liniowo niezależne?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: Zordon »

tak
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: myszka9 »

Czyli to jest to samo, ale inaczej napisane???
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Definicja, a twierdzenie

Post autor: Zordon »

Występuje pomiędzy tymi pojęciami równoważność, ale nie powiedziałbym, że są tylko "inaczej napisane".
ODPOWIEDZ