Definicja, a twierdzenie

[myszka9]

Dlaczego?

[Premislav]

To wynika wprost z liniowej niezależności i definicji bazy.
Powiedzmy, że \(\displaystyle{ a _{i}}\) to parami różne elementy bazy \(\displaystyle{ B}\) pewnej prz. liniowej \(\displaystyle{ V}\) (swoją drogą, gdyby określić bazę jako zbiór, to zastrzeżenie byłoby chyba zbędne, gdyż \(\displaystyle{ \left\{ a,a \right\}=\left\{a \right\}}\), proszę mnie naprostować, jeśli piszę głupoty). Z definicji bazy mamy, że\(\displaystyle{ (\forall v \in V)
( \exists \alpha _{i})( v= \sum_{i}^{} \alpha _{i}b _{i}}\)), gdzie \(\displaystyle{ \alpha _{i} \in K}\) (\(\displaystyle{ K}\) to ciało, nad którym nasza prz. jest liniowa). Teraz weźmy dowolne \(\displaystyle{ v \in V}\) i powiedzmy, że \(\displaystyle{ v= \sum_{i}^{} \alpha _{i}a_{i}}\) oraz \(\displaystyle{ v= \sum_{i}^{} \beta _{i}a _{i}}\). Zatem \(\displaystyle{ \sum_{i}^{}( \alpha _{i}- \beta _{i})a _{i}=0}\),
ale wtedy z liniowej niezależności bazy \(\displaystyle{ B}\) mamy \(\displaystyle{ (\forall i ) ( \alpha _{i}- \beta _{i}=0)}\), czyli \(\displaystyle{ (\forall i )( \alpha _{i}= \beta _{i})}\). Pomyśl teraz, jak pokazać wynikanie w drugą stronę.

[Zordon]

To wynika wprost z liniowej niezależności i definicji bazy.
Powiedzmy, że \(\displaystyle{ a _{i}}\) to parami różne elementy bazy \(\displaystyle{ B}\) pewnej prz. liniowej \(\displaystyle{ V}\) (swoją drogą, gdyby określić bazę jako zbiór, to zastrzeżenie byłoby chyba zbędne, gdyż \(\displaystyle{ \left\{ a,a \right\}=\left\{a \right\}}\), proszę mnie naprostować, jeśli piszę głupoty).

Baza jest określona jako zbiór, jednak w definicji nieszcześliwie używa się \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) zamiast \(\displaystyle{ \{a_1,...,a_n\}}\)