Dowód. Wymiar.

[myszka9]

Tak dla pewności, bo ktoś edytował mój pierwszy post, w założeniu było, że \(\displaystyle{ W<V}\) , czyli \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V.}\)
Muszę rozpatrzeć 2 przypadki?
1.Kiedy podprzestrzeń to cała przestrzeń, wtedy \(\displaystyle{ dimW=dimV}\)
2.Kiedy podprzestrzeń zawiera mniej elemntów niż cała przestrzeń, tak? Wtedy wybieram sobie jakiś wektor \(\displaystyle{ x \in V}\) i \(\displaystyle{ x\notin W}\) , dzięki czemu \(\displaystyle{ x + dimW}\) są liniowo niezależne, a więc, \(\displaystyle{ x+dimW}\) stanowią całą, lub część bazy \(\displaystyle{ V}\), więc jest większa od \(\displaystyle{ dimW}\)?

[yorgin]

\(\displaystyle{ x + dimW}\)

To wyrażenie jest pozbawione sensu, podobnie jak słowa po nim następujące.

Poza tym wariant 2. powinien być sformułowany inaczej: Podprzestrzeń jest istotna, tzn \(\displaystyle{ W\neq V}\).

[myszka9]

Więc jeśli bazę W oznaczymy \(\displaystyle{ dim\{w_i\}}\) to \(\displaystyle{ \{w_i\}+x}\) nie jest już bazą \(\displaystyle{ W}\), ale stanowi układ liniowo niezależnych wektorów, czyli jest to jakaś baza należąca do \(\displaystyle{ V}\). Stąd otrzymujemy , że \(\displaystyle{ dimW<dimV}\). ?

[yorgin]

Przede wszystkim \(\displaystyle{ dim}\) jest oznaczeniem zarezerwowanym na wymiar przestrzeni liniowej, a nie na bazę przestrzeni. Nie znam żadnego szczególnego oznaczenia na bazę danej przestrzeni.

Nawet jeśli już masz zbiór, to \(\displaystyle{ \{w_i\}+x}\) ma swoje znaczenie i nie jest to tym, czego byś się spodziewała.

Pomijając masakryczną symbolikę, to jeśli \(\displaystyle{ x}\) nie jest liniowo zależny z bazą \(\displaystyle{ W}\), co ma miejsce na przykład gdy \(\displaystyle{ x\not\in W}\), to \(\displaystyle{ \{w_i:i\in I\}\cup\{x\}}\) jest układem liniowo niezależnym, ale bazą być nie musi. Można go natomiast rozszerzyć do bazy \(\displaystyle{ V}\), dodając ewentualnie jakieś wektory. Stąd dostajesz, że wymiar \(\displaystyle{ W}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ V}\).

[myszka9]

Tzn baza W plus wektor x są elementami jakieś bazy V.

Posłużyłam się Twoimi słowami .

Dziękuję za cierpliwość i proszę jeszcze o sprawdzenie całokształtu, również pod względem zapisu:

ZAŁOŻENIE : \(\displaystyle{ W<V}\)
\(\displaystyle{ \NOT{(?)}}\) \(\displaystyle{ dimW \le dimV}\)

1)\(\displaystyle{ W=V \Rightarrow dimW=dimV}\) , oczywiste.
2)\(\displaystyle{ W \neq V}\)
Ust wektor \(\displaystyle{ \{x\} \in V}\) i \(\displaystyle{ \{x\} \notin W}\). Niech \(\displaystyle{ \{w_i : i\in I \}}\) będzie bazą \(\displaystyle{ W}\), to \(\displaystyle{ \{x\} \cup \{w_i : i\in I\}}\) jest układem liniowo niezależnych wektorów, nie będących jednocześnie bazą W. Możemy z tąd wywnioskować, że powyższa suma może być w uzupełnienie o kilka wektorów bazą \(\displaystyle{ V}\), a więc \(\displaystyle{ dimW<dimV}\).

[norwimaj]

Ale długa dyskusja na temat fałszywego twierdzenia (choć często spotykanego). Jeśli \(\displaystyle{ (w_0,w_1,w_2,\ldots)}\) jest bazą \(\displaystyle{ W}\) oraz \(\displaystyle{ (x,w_0,w_1,w_2,\ldots)}\) jest bazą \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ \dim W = \dim V = \aleph_0}\). Przykład: przestrzeń wszystkich wielomianów rzeczywistych zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i podprzestrzeń wielomianów podzielnych przez \(\displaystyle{ x-5}\).

[myszka9]

Mówimy o przestrzeniach skończenie generowanych.
Swoją drogą, tw nie jest fałszywe, bo w swoim zapisie ma : \(\displaystyle{ dimW \le dimV}\)

[norwimaj]

Swoją drogą, tw nie jest fałszywe, bo w swoim zapisie ma : \(\displaystyle{ dimW \le dimV}\)

Racja. Pobieżnie czytałem temat i nie zwróciłem uwagi.

[yorgin]

Tzn baza W plus wektor x są elementami jakieś bazy V.

Posłużyłam się Twoimi słowami .

Dziękuję za cierpliwość i proszę jeszcze o sprawdzenie całokształtu, również pod względem zapisu:

ZAŁOŻENIE : \(\displaystyle{ W<V}\)
\(\displaystyle{ \NOT{(?)}}\) \(\displaystyle{ dimW \le dimV}\)

1)\(\displaystyle{ W=V \Rightarrow dimW=dimV}\) , oczywiste.
2)\(\displaystyle{ W \neq V}\)
Ust wektor \(\displaystyle{ \{x\} \in V}\) i \(\displaystyle{ \{x\} \notin W}\). Niech \(\displaystyle{ \{w_i : i\in I \}}\) będzie bazą \(\displaystyle{ W}\), to \(\displaystyle{ \{x\} \cup \{w_i : i\in I\}}\) jest układem liniowo niezależnych wektorów, nie będących jednocześnie bazą W. Możemy z tąd wywnioskować, że powyższa suma może być w uzupełnienie o kilka wektorów bazą \(\displaystyle{ V}\), a więc \(\displaystyle{ dimW<dimV}\).

Na końcu powinna być nierówność \(\displaystyle{ \leq}\), poza tym wygląda dobrze.

[norwimaj]

Teraz już przeczytałem dokładniej. Nie jest potrzebne rozpatrywanie osobno przypadków \(\displaystyle{ W=V, W\subsetneq V}\). Nie wiem, czemu ma służyć dodanie jednego wektora \(\displaystyle{ x}\).

Po prostu, bierzemy dowolną bazę \(\displaystyle{ W}\). Jest ona liniowo niezależnym układem wektorów w \(\displaystyle{ V}\), więc da się ją rozszerzyć do bazy \(\displaystyle{ V}\). Rozszerzając bazę oczywiście nie zmniejszyliśmy liczby jej elementów, więc \(\displaystyle{ \dim W\le \dim V}\).


Natomiast jeśli chodzi o techniczne sprawy, to błędny jest zapis \(\displaystyle{ \{x\} \in V}\).

[myszka9]

Ok, dziękuję, znalazłam takie twierdzenie w wykładach :

Każdy liniowo niezależny układ wektorów przestrzeni skończenie generowanej można uzupełnić do bazy.

Mam rozumieć, że wykorzystałam to twierdzenie podczas tego dowodu?

[yorgin]

norwimaj, to jest w zasadzie to samo, co sam napisałem. Tylko zwięźlej. Niemniej będąc w temacie od początku widziałem, że trzeba dokładniejszego tłumaczenia. By uchwycić sedno problemu. A i tak oboje powołaliśmy się na twierdzenie o rozszerzaniu układu liniowo niezależnego do bazy.-- 22 marca 2013, 23:23 --

Ok, dziękuję, znalazłam takie twierdzenie w wykładach :

Każdy liniowo niezależny układ wektorów przestrzeni skończenie generowanej można uzupełnić do bazy.

Mam rozumieć, że wykorzystałam to twierdzenie podczas tego dowodu?

To jest kluczowe. Właśnie z tego korzystasz.

[myszka9]

dlaczego błędny??

[norwimaj]

Każdy liniowo niezależny układ wektorów przestrzeni skończenie generowanej można uzupełnić do bazy.

Oprócz tego nietrywialnym faktem jest to, że w ogóle wymiar przestrzeni jest dobrze określoną funkcją. To znaczy, że każda przestrzeń (skończenie generowana) ma bazę, i że każde dwie bazy tej przestrzeni są równoliczne. Sformułowanie zadania sugeruje, że te twierdzenia są znane. Tym bardziej prostsze od nich twierdzenie, które cytujesz, i które rzeczywiście jest w rozwiązaniu wykorzystane.

dlaczego błędny??

Elementem przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) jest \(\displaystyle{ x}\), a nie \(\displaystyle{ \{x\}}\).

[myszka9]

każda przestrzeń (skończenie generowana) ma bazę, i że każde dwie bazy tej przestrzeni są równoliczne

owszem było coś takiego, ale tego nie rozumiem. jak 2 bazy tej przestrzeni? Myślałam, że baza jest jednoznacznie wyznaczona. Chyba, że chodzi o to, że mając np \(\displaystyle{ W=lin\{[1,1];[2,2]\}}\) i teraz który wektor wykreślimy jest zależne od naszego widzimisie, a i tak wymiar będzie równy 1, tak?
W którym momencie z tego korzystamy?-- 22 mar 2013, o 23:39 --Ale zapis :

\(\displaystyle{ \{w_i : i\in I\} \cup \{x\}}\) jets już ok?