Dowód. Wymiar.

[myszka9]

Potwierdziłeś, że \(\displaystyle{ lin(W)=W}\) , już od godziny siedzę i próbuję zrozumieć istotę \(\displaystyle{ lin(W)}\) i nie potrafię, bo czym dowiaduje się, że to po prostu \(\displaystyle{ W}\)? Zastanawiam się nad sensem pisania \(\displaystyle{ lin(W)}\), skoro można pisać \(\displaystyle{ W}\). Po co takie utrudnienia?

[yorgin]

To nie są utrudnienia. W ogólności dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ X}\) nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ X=lin X}\) co natychmiast wyklucza przykład \(\displaystyle{ X=\{(1,1)\}}\). \(\displaystyle{ lin X}\) jest tu przestrzenią generowaną przez wszystkie elementy tego zbioru, czyli \(\displaystyle{ lin X=\{(x,x):x\in\RR\}}\) (jest to wykres funkcji \(\displaystyle{ y=x}\)).

Natomiast jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią liniową, to tak się pięknie składa, że \(\displaystyle{ X=lin X=lin\{b_i:i\in I\}}\) gdzie \(\displaystyle{ \{b_i:i\in I\}}\) jest dowolną bazą \(\displaystyle{ X}\).

[myszka9]

Hmm.. w tym semestrze zaczęłam algebrę liniową i totalnie nie rozumiem tego co napisałeś..
Czy lin(A) odnosi się do czegoś po za przestrzeniami liniowymi? I czy na tym poziome możliwe jest, abym o tym wiedziała?

-- 21 mar 2013, o 22:17 --

Wtedy \(\displaystyle{ \{b_i\}\cup \{x\}}\) jest układem wektorów liniowo niezależnych

Skąd ta pewność?

-- 21 mar 2013, o 22:23 --

Korzystałem tylko z tego, że jeśli do układu liniowo niezależnych wektorów \(\displaystyle{ \{b_i: i \in I\}}\) dołączę wektor \(\displaystyle{ \{x\}\not\in lin\{b_i: i \in I\}}\), to nowy układ \(\displaystyle{ \{x\}\cup\{ b_i :i\in I\}}\) będzie liniowo niezależny. To jest elementarna własność.

No, a : \(\displaystyle{ V=lin([1,2,3],[2,4,6],[1,1,1])}\) , a \(\displaystyle{ W=([1,1,1])}\) i \(\displaystyle{ x=[2,4,6]}\) to to nie ma sensu...

-- 21 mar 2013, o 22:25 --

Chociaż jak patrzę tak na to, nie wiem, czy w ogóle moje V spełnia warunki na przestrzeń liniową, a W na podprzestrzeń..-- 21 mar 2013, o 22:27 --nie no wszystko zależy chyba od działań jakie określę, więc z takimi elementarnymi V jest ok, ale W odpada jako podprzestrzeń, tak?

[yorgin]

Hmm.. w tym semestrze zaczęłam algebrę liniową i totalnie nie rozumiem tego co napisałeś..
Czy lin(A) odnosi się do czegoś po za przestrzeniami liniowymi? I czy na tym poziome możliwe jest, abym o tym wiedziała?

\(\displaystyle{ lin A}\) jest przestrzenią rozpiętą na wektorach z \(\displaystyle{ A}\). Nie wiem, czy było to pojęcie, skoro dopiero co poznajesz algebrę liniową, ale dziwi mnie mowa o wymiarach przestrzeni, czyli o bazach, jeśli nie wie się co to jest \(\displaystyle{ lin A}\).

-- 21 mar 2013, o 22:17 --

Wtedy \(\displaystyle{ \{b_i\}\cup \{x\}}\) jest układem wektorów liniowo niezależnych

Skąd ta pewność?

-- 21 mar 2013, o 22:23 --

Pisałem o tym już kilka razy.

Korzystałem tylko z tego, że jeśli do układu liniowo niezależnych wektorów \(\displaystyle{ \{b_i: i \in I\}}\) dołączę wektor \(\displaystyle{ \{x\}\not\in lin\{b_i: i \in I\}}\), to nowy układ \(\displaystyle{ \{x\}\cup\{ b_i :i\in I\}}\) będzie liniowo niezależny. To jest elementarna własność.

No, a : \(\displaystyle{ V=lin([1,2,3],[2,4,6],[1,1,1])}\) , a \(\displaystyle{ W=([1,1,1])}\) i \(\displaystyle{ x=[2,4,6]}\) to to nie ma sensu...

-- 21 mar 2013, o 22:25 --

Chociaż jak patrzę tak na to, nie wiem, czy w ogóle moje V spełnia warunki na przestrzeń liniową, a W na podprzestrzeń..

\(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią wektorową, dokładniej to \(\displaystyle{ V=lin\{(1,2,3),(1,1,1)\}}\). \(\displaystyle{ W}\) jest jej podprzestrzenią, to nie ma wątpliwości. Wszystko się zgadza z tym, co napisałem, bo \(\displaystyle{ x\not\in W}\).

[myszka9]

\(\displaystyle{ dimV=\{[1,2,3],[1,1,1]\}}\) ale dodając wektor x to już nie jest baza.

[yorgin]

\(\displaystyle{ dim V}\) w wypisanym przez Ciebie przykładzie wynosi \(\displaystyle{ 2}\). Poza tym, Twój \(\displaystyle{ x}\) nie spełnia mojego założenia, by \(\displaystyle{ x\not\in V}\). Tutaj niestety tak nie jest.

[rafalpw]

\(\displaystyle{ W}\) jest jej podprzestrzenią, to nie ma wątpliwości.

Przecież \(\displaystyle{ W=\left( \left[ 1,1,1\right] \right)}\) nie może być podprzestrzenią, skoro nie jest przestrzenią.

[myszka9]

To nie rozumiem dowodu, myślałam, że \(\displaystyle{ x \notin W}\) , ale \(\displaystyle{ x \in V}\) ...
Skąd wytrzasnęliśmy x?

[yorgin]

rafalpw, Tam zapewne miało być \(\displaystyle{ W=lin ((1,1,1))}\).

myszka9, stąd, że \(\displaystyle{ V\setminus W\neq \emptyset}\)

[myszka9]

Podsumowując cały dowód :

\(\displaystyle{ W \le V \Rightarrow dimW<dimV}\)

1) \(\displaystyle{ W=V \Rightarrow dimW=dimV}\) , oczywistość
2) \(\displaystyle{ W<V}\),
Ust \(\displaystyle{ x\in V}\) i \(\displaystyle{ x\notin W}\) . X nie należy do W, więc jest liniowo niezależny razem z wektorami należącymi do W, bo gdyby był to byłby częścią linW, co w przypadku, gdy W jest przestrzenią liniową jest niemożliwe, bo musiałby należeć do W, co jest sprzeczne z założeniem. ...

I kolejne pytanie : nie czuję się przekonana, że to dowodzi, że baza V jest większa, przecież x nie musi należeć do bazy V.

-- 21 mar 2013, o 23:00 --

rozumiem....albo mi sie wydaje
\(\displaystyle{ lin\{[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3],[1,2,3],[2,4,6]\}=lin\{[1,1,1],[1,2,3]\} \neq dim\{[1,1,1],[1,2,3]\}=2}\) ?

[yorgin]

I kolejne pytanie : nie czuję się przekonana, że to dowodzi, że baza V jest większa, przecież x nie musi należeć do bazy V.

Baza jest większa, gdyż zawiera w sobie wektor \(\displaystyle{ x}\) który nie należy do bazy \(\displaystyle{ W}\). Tzn baza \(\displaystyle{ W}\) plus wektor \(\displaystyle{ x}\) są elementami jakieś bazy \(\displaystyle{ V}\).

\(\displaystyle{ lin\{[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3],[1,2,3],[2,4,6]\}=lin\{[1,1,1],[1,2,3]\} \neq dim\{[1,1,1],[1,2,3]\}=2}\)

Pierwsza i ostatnia równość ok. Ale druga jest bez sensu, a to dlatego, że porównujesz przestrzeń wektorową z liczba.

[myszka9]

2 to nierównośc-- 21 mar 2013, o 23:24 --A czy w takim razie :
\(\displaystyle{ W=\{[1,2,3]\} = V = \{[2,4,6]\}}\)? ? ?

[yorgin]

Nierówność czy równość - bez znaczenia, gdyż i tak dotyczy dwóch całkowicie różnych obiektów, których nie ma sensu porównywać.

W związku z kolejnym pytanie, czy

\(\displaystyle{ W=\{[1,2,3]\} = V = \{[2,4,6]\}}\)

odpowiadam negatywnie. To są zbiory złożone z pojedynczych wektorów, nie ma szans na równość. Tym bardziej nie są to przestrzenie liniowe.

[myszka9]

Czyli to lin to jest kombinacja liniowa tego co jest w \(\displaystyle{ \{\}}\) ?

[yorgin]

Tak. \(\displaystyle{ lin}\) oznacza przestrzeń liniową wszystkich kombinacji liniowych z tego, co jest w klamerkach.