Dowód. Wymiar.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: norwimaj »

Zgadza się. \(\displaystyle{ \{[1,1]\}}\) i \(\displaystyle{ \{[2,2]\}}\) to dwie różne bazy tej samej przestrzeni. Ale też \(\displaystyle{ \{[1,0],[0,1]\}}\) i \(\displaystyle{ \{[1,1],[1,-1]\}}\) są różnymi bazami \(\displaystyle{ \RR^2}\). Zwykle jedna przestrzeń ma całe mnóstwo baz. Jednak niezależnie od tego, jaką bazę danej przestrzeni weźmiemy, wymiar będzie taki sam. Z tego faktu pośrednio korzystamy.

Zapis \(\displaystyle{ \{w_i : i\in I\} \cup \{x\}}\) jest poprawny.
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: myszka9 »

Tak sobie patrzę na ten, a jakbym chciała uogólnić dowód również dla nieskończenie generowanych, to wystarczy, że napiszę

1) \(\displaystyle{ |W|=|V|\Rightarrow dimW=dimV}\)
2) \(\displaystyle{ |W|<|V|}\) i podobne rozumowanie, jak przy skończenie generowanych?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: yorgin »

Przez \(\displaystyle{ |W|}\) mam rozumieć moc przestrzeni? Pytam, bo przy moim zgadywaniu 1) nie jest prawdziwe.
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: myszka9 »

Tak, właśnie to.
Czyli nie, a mogę przykład?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: yorgin »

\(\displaystyle{ W=\RR^2, V=\RR\times\{0\}}\)

\(\displaystyle{ V<W}\)

\(\displaystyle{ \dim W=2>1=\dim V}\)
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: myszka9 »

A jakby wyglądał dowód dla przestrzeni nieskończnenie generowanej?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: yorgin »

A co trzeba udowodnić?
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: myszka9 »

No czy ten dowód jest uniwersalny, również dla przestrzeni skończenie generowanych?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: yorgin »

myszka9 pisze: 2) \(\displaystyle{ |W|<|V|}\) i podobne rozumowanie, jak przy skończenie generowanych?
To mi nic nie mówi poza tym, że \(\displaystyle{ W}\) ma istotnie mniej elementów niż \(\displaystyle{ V}\). Jakie masz założenia, jaką tezę?
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: myszka9 »

AAA... to samo twierdzenie, czyli \(\displaystyle{ W<V \Rightarrow dimW<dimV}\) , tak dla własnej ciekawości pytam
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: yorgin »

To również nie jest prawdziwe. Przykład jest tym razem trochę trudniejszy od ostatniego.

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią wielomianów, a \(\displaystyle{ W}\) przestrzenią wielomianów parzystych. Wtedy \(\displaystyle{ W<V}\) oraz \(\displaystyle{ \dim W=\dim V}\).
myszka9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1185
Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: tu i tam
Podziękował: 528 razy
Pomógł: 5 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: myszka9 »

Ahhhh.. miało być \(\displaystyle{ W<V \Rightarrow dimW \le dimV}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowód. Wymiar.

Post autor: yorgin »

Przypuszczam że chodzi o przestrzenie nieskończenie wymiarowe. Robi się to tak samo jak wcześniej. Jest sobie baza \(\displaystyle{ W}\) którą uzupełniamy do bazy \(\displaystyle{ V}\). Czyli zwiększamy wymiar.
ODPOWIEDZ