Baza, pytanie

myszka9 · Post autor: **myszka9** » 21 mar 2013, o 19:59

Co oznacza, że:
Podzbiór \(\displaystyle{ B}\) przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\) nazywamy bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), jeśli :
1) \(\displaystyle{ V=lin(B)}\) ....

Czyli? Jeśli \(\displaystyle{ V =([a,b,c],[d,e,f])}\) , to \(\displaystyle{ B}\) musi się równać \(\displaystyle{ V}\) ?
Czy może \(\displaystyle{ aB=V}\), albo \(\displaystyle{ B=aV}\) ?

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 mar 2013, o 20:43

Przede wszystkim w Twoim przykładzie \(\displaystyle{ V}\) nie będzie przestrzenią wektorową (chyba, że \(\displaystyle{ a=b=c=d=e=f=0}\) ).

myszka9 · Post autor: **myszka9** » 21 mar 2013, o 23:03

dlaczego?

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 mar 2013, o 23:12

Zbiór wektorów musi zawierać element neutralny (wektor zerowy) , a \(\displaystyle{ \left( V,+\right)}\) musi być grupą abelową. Jeżeli np. wektor \(\displaystyle{ \left[ a,b,c\right]}\) byłby niezerowy, to \(\displaystyle{ \left[ a,b,c\right]+\left[ a,b,c\right]=\left[ 2a,2b,2c\right]\not \in V}\) , więc \(\displaystyle{ \left( V,+\right)}\) nie byłaby grupą.

myszka9 · Post autor: **myszka9** » 21 mar 2013, o 23:14

\(\displaystyle{ V=lin\{[a,b,c],[e,d,f]\}}\) to już jest?

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 21 mar 2013, o 23:20

Dla dowolnego \(\displaystyle{ v}\):
\(\displaystyle{ lin\left( v\right)}\) jest przestrzenią liniową.

Więc w odpowiedzi na Twoje pytanie: Tak, \(\displaystyle{ V=lin\{[a,b,c],[e,d,f]\}}\) jest przestrzenią liniową.