Wektory liniowo niezależne.

[apacz]

Cześć,
Mam takie zadanie:
W przestrzeni \(\displaystyle{ (R^{3}, R, +, )}\) są dane wektory \(\displaystyle{ x_{1} = (1, 1, 1), x_{2} = (0,1,2)}\). Znaleść takie wektory (ogólną postać) \(\displaystyle{ x_{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{4}}\), by zbiór {\(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\)} był zbiorem wektorów liniowo zależnych, a zbiór {\(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{4}}\)} był zbiorem wektorów liniowo niezależnych.
Jak zrobić to zadanie? Ja próbowałem brać wektor \(\displaystyle{ (\alpha, \beta, \gamma)}\), razem z dwoma danymi przyrównywać do wektora zerowego (+ współczynniki przy każdym wektorze) i rozwiązać taki układ równań. Ale wychodzi nie tak jak w odpowiedziach. Proszę o pomoc .

[kuch2r]

Niech \(\displaystyle{ x_3=(x,y,z)}\)
Zalozmy, ze \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) jest ukladem wektorow liniowo zaleznych.
Stad:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&2\\x&y&z\end{array}\right|=0}\)
Obliczajac powyzszy wyznacznik, otrzymujemy ,ze
\(\displaystyle{ x-2y+z=0}\)
Czyli wszystkie wektory postacie \(\displaystyle{ x_n(x,y,z)}\) spelniajace zaleznosc \(\displaystyle{ x-2y+z=0}\) tworza uklad wektorow liniowo zaleznych.

Dla wektorow liniowo niezaleznych, beda to wektory spelniajace zaleznosc:
\(\displaystyle{ x-2y+z\neq 0}\)

[apacz]

Dzięki. A czy jest możliwość otrzymania tego wyniku nie korzystając z macierzy ?

[kuch2r]

tak mozna, wystarczy rozpatrzec:
\(\displaystyle{ \alpha(1,1,1)+\beta(0,1,2)+\gamma(x,y,z)=(0,0,0)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \begin{cases} + \gamma{x}=0\\\alpha+\beta+\gamma{y}=0\\\alpha+2\beta+\gamma{z}=0\end{cases}}\)
Dalej:
układ wektorów jest liniowo zależny, gdy istnieje kombinacja liniowa jego wektorów o nie wszystkich współczynnikach równych zero, równa wektorowi zerowemu.
.... uzyskamy ten sam efekt