Witam, w książce z krystalografii ( Luger: Rentgenografia strukturalna monokryształów ) wprowadza się pojęcie przestrzeni odwrotnej oraz pojęcie wektorów odwrotnych. Niestety nigdzie czegoś takiego w książkach do algebry nie znalazłem. Wprowadza się te pojęcia w następujący sposób :
Niech będzie dana baza \(\displaystyle{ B}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\) : \(\displaystyle{ B = [a _{1},a _{2},a _{3}]}\)
Wprowadza się następujące wektory :
\(\displaystyle{ a ^{*} _{1} = \frac{a _{2} \times a _{3} }{a _{1} a _{2} a _{3} }}\)
\(\displaystyle{ a ^{*} _{2} = \frac{a _{3} \times a _{1} }{a _{1} a _{2} a _{3} }}\)
\(\displaystyle{ a ^{*} a_{3} = \frac{ a_{1} \times _{2} }{a _{1} a _{2} a _{3} }}\)
Wektory te są wektorami odwrotnymi do \(\displaystyle{ a _{1}, a_{2},a_{3}}\)
I tam są podane szeregi własności które te wektory spełniają, a mianowicie :
1) \(\displaystyle{ a _{i}a ^{*} _{k} = \delta _{ik}}\) gdzie \(\displaystyle{ \delta _{ik}}\) to delta Kroneckera
2) Jeżeli \(\displaystyle{ V = (a _{1} a _{2} a _{3} )}\) to \(\displaystyle{ V ^{*} = (a ^{*} _{1} a ^{*} _{2} a ^{*} _{3})= \frac{1}{V}}\) gdzie V to objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach bazowych
3) Jeżeli \(\displaystyle{ B = [ a _{1},a _{2} ,a _{3}]}\) jest bazą w danej przestrzeni to \(\displaystyle{ B ^{*}=[a ^{*} _{1},a ^{*} _{2},a ^{*} _{3}]}\) nazywamy bazą odwrotną
I tu pojawia się problem, ponieważ skoro obliczamy coś takiego to jeżeli wezmę sobie 3 liniowo niezależne wektory np : \(\displaystyle{ (1,1,1) , (1,2,3), (1,3,3)}\) to powinienem łatwo obliczyć wektory " odwrotne " niestety jestem takim człowiekiem który musi jednak sobie wszystko sprawdzić, policzyłem wszystkie wektory" odwrotne " i już na starcie widzę że nie jest spełniony warunek 1) 2) 3).
Czy jest możliwe że w książce jest błąd czy po prostu ja coś źle liczę. Czy kiedyś ktoś spotkał się z czymś takim jak przestrzeń odwrotna oraz " wektory odwrotne "
będę wdzięczny za pomoc, z poważaniem
Rits
