Znaleźć macierz przekształcenia liniowego

[maaniek9]

Znaleźć macierz przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ T: \RR^{4} \rightarrow \RR^{2}, T(x,y,z,t)=(-2x+y-2z+t, x-2y+z-2t)}\)

w podanych bazach przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) i \(\displaystyle{ \RR^{2}}\)

a) \(\displaystyle{ B_{\RR^{4}}}\) = baza standardowa, \(\displaystyle{ B_{\RR^{2}}}\) = baza standardowa;
b) \(\displaystyle{ B_{\RR^{4}} = \{(0,1,1,-1),(1,0,-1,0),(-1,-1,0,1),(0,0,0,1)\}}\), \(\displaystyle{ B_{\RR^{2}} = \{(2,1), (-1,0)\}}\)

Mógłby mi ktoś powiedziec jak to sie robi kro po kroku?

Z bazami standardowymi, to wiem. Wylicza się \(\displaystyle{ T}\) od wektora tworzącego bazę.
\(\displaystyle{ T(0,1,1,-1) = (2,1),\\
T(1,0,-1,0) = (1,-2),\\
T(-1,-1,0,1) = (-2,1),\\
T(0,0,0,1) = (1,-2)}\)

i potem wpisuje się do macierzy jako kolumny

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccc}-2&1&-2&1\\1&-2&1&-2\end{array}\right]}\)

Ale mam problem z podpunktem b).

[szw1710]

Kolumny macierzy zawierają obrazy wektorów bazowych. Ale uważaj. Współrzędne tych obrazów masz przedstawić w bazie \(\displaystyle{ (2,1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,0)}\). Więc np.

\(\displaystyle{ T(0,1,1,-1)=(-2,1)=\alpha(2,1)+\beta(-1,0)}\)

i te współrzędne \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) będą tworzyć pierwszą kolumnę macierzy \(\displaystyle{ b)}\). Dokładnie \(\displaystyle{ \alpha=1}\), \(\displaystyle{ \beta=4}\), więc pierwsza kolumna to

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}}\).