Funkcje które tworzą przestrzeń liniową

[rezystor]

Witam
Mam zadanie o następującej treści:

Czy funkcje przybierające wartość 0 na końcach przedziału \(\displaystyle{ x \in \left[ 0,L\right]}\) tworzą przestrzeń liniową?

I zaczynam w ten sposób.
Żeby funkcja tworzyła przestrzeń liniową musi zachodzić:
1) \(\displaystyle{ f(x)+g(x) \in V}\)
2) \(\displaystyle{ a f(x) \in V}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) to skalar.
Przydało by się jeszcze:
3) funkcja \(\displaystyle{ -f(x)}\) jest przeciwna do \(\displaystyle{ f(x)}\)
4) funkcja zerowa to funkcja o wartości zero w każdym punkcie przedziału

Problem w tym że nie wiem jak w dowodzie uwzględnić końce przedziału.
Dlatego proszę o jakąś pomoc/wskazówkę.

[octahedron]

\(\displaystyle{ f(0)+g(0)=f(L)+g(L)=0\\\
af(0)=af(L)=0}\)

Gdyby przybierały na końcach wartość niezerową, to 1) i 2) nie należałyby do przestrzeni.

[rezystor]

1) Czyli w ten sposób który przedstawiłeś pokazujemy że sumy wartości funkcji na końcach przedziału są są zerami (analogicznie iloczyny skalar-funkcja)?

2) Nasuwa mi się jeszcze jedno pytanie odnośnie zera. Czy te zero utożsamiamy z funkcją zerową (spełnia warunki 1 i 2 a przez to funkcja należy do \(\displaystyle{ V}\))?

[octahedron]

1) Tak.
2) Tak.