Wyznacz rzut ortogonalny

[Whiten]

Zadanie jest takie:
Wyznacz rzut ortogonalny względem iloczynu skalarnego (podanego niżej) wielomianu \(\displaystyle{ v(x)}\) na przestrzeń \(\displaystyle{ S}\).
\(\displaystyle{ (v|u)= \int_{0}^{1}v(x)u(x)dx}\)
\(\displaystyle{ v(x)=x}\)
\(\displaystyle{ S=\mathcal{L}(x-2)}\)

Generalnie potrafię rozwiązać podobne zadania na innych przykładach, ale nie bardzo rozumiem jak mam to zrobić przy takim zapisie przestrzeni \(\displaystyle{ S}\).
Wiem, że musi to należeć do tej przestrzeni, więc do głowy przyszło mi, by ten rzut miał właśnie taki wzór: \(\displaystyle{ x-2}\). Z drugiej zaś strony względem tak zadanego iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ v(x)-P(x)}\) nie jest prostopadłe do \(\displaystyle{ x-2}\), gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) to rzut.

Edycja:

Pomyślałem, że można by wziąć dowolny wielomian stopnia 1 (tj. \(\displaystyle{ ax+b}\)) i policzyć iloczyn skalarny \(\displaystyle{ v(x)-ax-b}\) i \(\displaystyle{ x-2}\). Następnie przyrównać iloczyn skalarny do 0, znaleźć odpowiednią zależność pomiędzy a i b i rzutem będzie wielomian \(\displaystyle{ ax+b}\) z dowolnymi a i b spełniającymi zależność, która wynika z zerowania iloczynu skalarnego.

Czy mógłby się ktoś do tego odnieść?

[szw1710]

Pisałem już o tym nie tak dawno, jakieś 3 m-ce temu. Rzut realizują współczynniki Fouriera. Rzut funkcji na podprzestrzeń jest najlepszą aprokzymacją funkcji z tej podprzestrzeni. A więc Fourier.

[Whiten]

Jesteś pewny, że to zadanie wymaga uciekania się do aż tak pracochłonnych metod? Zaproponowany przez Ciebie sposób rozwiązania kompletnie odbiega od tego co robiliśmy na zajęciach. Można do tego jakoś dojść w prostszy sposób? Może da się udoskonalić przedstawiony przeze mnie tok rozumowania, by uzyskać prawidłowy wynik?

[octahedron]

\(\displaystyle{ P=\frac{(v|x-2)}{(x-2|x-2)}\cdot(x-2)=\frac{\int_0^1x(x-2)\,dx}{\int_0^1(x-2)^2\,dx}\cdot(x-2)=-\frac{2}{7}(x-2)}\)