Wytłumaczenie znaczenia zapisu

[yorgin]

Symetryczność nie ma związku w tym przypadku z kwadratowością macierzy. Macierz zawsze można pomnożyć przez swoją transpozycję.

Zróbmy banalny przykład, dla macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\).

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]}\)

Oznaczam \(\displaystyle{ B=AA^T}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ b_{12}=a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}}\)

Teraz

\(\displaystyle{ a_1a_1^T=\left[\begin{array}{cc} a_{11}a_{11} & a_{11}a_{12} \\ a_{12}a_{11} & a_{12}a_{12}\end{array}\right]}\)

oraz

\(\displaystyle{ a_2a_2^T=\left[\begin{array}{cc} a_{22}a_{22} & a_{22}a_{21} \\ a_{21}a_{22} & a_{21}a_{21}\end{array}\right]}\)

Niech

\(\displaystyle{ C=a_1a_1^T+a_2a_2^T}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ c_{12}=a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}}\)

Dlaczego \(\displaystyle{ b_{12}=c_{12}}\) ?

[pawellogrd]

Gdyby \(\displaystyle{ A^T \neq A}\) (czyli macierz nie byłaby symetryczna), to wtedy \(\displaystyle{ b_1_2 = a_{11} a_{21}+a_{12} a_{22}}\). Jednak z racji symetryczności macierzy \(\displaystyle{ A}\) zachodzi \(\displaystyle{ A^T = A}\), stąd \(\displaystyle{ B=A A^T = A A}\) i \(\displaystyle{ b_{12}=a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}}\), zgodnie z tym, co wyżej. Niezależnie od symetrii macierzy \(\displaystyle{ A}\) byłoby \(\displaystyle{ c_{12}=a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}}\)

Dlatego równość \(\displaystyle{ b_{12}=c_{12}}\) zachodzi tylko i wyłącznie dzięki symetrii macierzy \(\displaystyle{ A}\), dającej \(\displaystyle{ A=A^T}\).

[yorgin]

Ty napisałeś tyle i dalej nie widać z tego, dlaczego \(\displaystyle{ b_{12}=c_{12}}\). Po co w ogóle zakładasz, że \(\displaystyle{ A^T\neq A}\), skoro masz sprawdzić równość dla \(\displaystyle{ A^T=A}\) ? Z marszu wyprowadzasz z tego nieprawdziwy wniosek wynikając z wyrzuconej przed chwilą symetrii.

Wszystko to można zapisać krótko:

Z symetrii \(\displaystyle{ a_{21}=a_{12}}\) więc
\(\displaystyle{ c_{12}=a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}=a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}=b_{12}}\)

[pawellogrd]

Ok jestem ślepy i nie zauważyłem jednej rzeczy...
Teraz wszystko jasne od początku do końca.

Jeszcze raz dzięki za ogromną dawkę cierpliwośći.