Przekształcenie liniowe

[blacha_joker]

Mam problem z jednym zadaniem, nie chcę pełnego rozwiązania, tylko wskazówki, naprowadzenie na metodę rozwiązania.

\(\displaystyle{ Niech T: R^{4} \rightarrow R^{3}}\) bedzie zadane na bazie standardowej \(\displaystyle{ B=\left\{ e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right\}}\) na przestrzeni R^{4} następująco:

\(\displaystyle{ T(e_{1})=(1,0,1), T(e_{2})=(0,1,-1), T(e_{3})=(-1,1,0), T(e_{4})=(1,1,1)}\)

Wyznaczyć T(v) dla dowolnego v należącego do \(\displaystyle{ R^{4}}\).

Za ewentualne błędy w pisaniu texu, uczę się dopiero. Umie ktoś naprowadzić na rozwiązanie?

[bartek118]

\(\displaystyle{ T(v) = v_1 T(e_1) + v_2 T(e_2) + v_3 T(e_3) + v_4 T(e_4)}\)

[blacha_joker]

a \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}\), to są współrzędne? Chodzi mi o uzasadnienie tego wzoru, że jest to po prostu kombinacja liniowa z bazy standardowej czy jak?

[bartek118]

Tak, \(\displaystyle{ v_1, ...}\) to współrzędne \(\displaystyle{ v}\). Wzór się bierze stąd, że

\(\displaystyle{ T(v)=T(v_1 e_1 + ...) = v_1 T(e_1) + ...}\)