Układy wektorów w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta

[Wasilewski]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ n> N}\). Powiedzmy, że mamy \(\displaystyle{ n}\) wektorów \(\displaystyle{ x_{1}, \dots, x_{n} \in \ell_{2}^{N}}\) takich, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \|x_{k}\|_{2}^{2} \le 1}\). Chciałbym uzasadnić, że istnieje macierz \(\displaystyle{ (b_{jk}) \in \mathrm{M}_{n \times N}}\) o normie nie większej niż \(\displaystyle{ 1}\) (w przestrzeni \(\displaystyle{ B(\ell_{2}^{N}, \ell_{2}^{n})}\)) oraz układ \(\displaystyle{ N}\) wektorów \(\displaystyle{ y_{1}, \dots, y_{N} \in \ell_{2}^{N}}\) takich, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{N} \|y_{k}\|_{2}^{2} \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{j} = \sum_{k=1}^{N} b_{jk}y_{k}}\).

Jakiś najbardziej prymitywny zachłanny algorytm mi nie pomógł. Zbadanie przypadku szczególnego \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1}{2}e_{1}, \ x_{2} = \frac{1}{2}e_{2}, \ x_{3} = \frac{1}{2}(e_{1}+e_{2})}\) doprowadziło mnie do wektorów \(\displaystyle{ y_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}(e_{1} + e_{2}), \ y_{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} (e_{1}-e_{2})}\), co, jak dla mnie, nie wydaje się bardzo naturalnym wyborem, zatem nie mam pomysłu, jak robić to w przypadku ogólnym. Być może trzeba do tego podejść jakoś bardziej abstrakcyjnie (może zastosować twierdzenie o oddzielaniu), ale tu też jestem bezradny. Byłbym wdzięczny za dobrą radę.