Macierz 4x4

[Jim4R]

Cześć,
Potrzebuję obliczyć wyznacznik z macierzy poniżej,

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&1&1\\1&3&1&1\\1&1&3&1\\1&1&1&3\end{bmatrix}}\)

Jeszcze jak by ktoś napisał w jaki sposób to policzyć, to byłbym wdzięczny

[rafalpw]

Wykonaj kilka operacji wierszowych (dodawanie do wiersza wielokrotności innego wiersza nie zmienia wyznacznika) a potem zastosuj rozwinięcie względem którejś kolumny(wiersza).

[Jim4R]

Tzn, ja to zrobiłem ale chyba źle,

Odjąłem od K3 kolumnę K4, tak żeby wyszło:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&0&1\\1&3&0&1\\1&1&2&1\\1&1&-2&3\end{bmatrix}}\)

Później dodałem W4 do W3 czyli wyszło tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&0&1\\1&3&0&1\\2&2&0&4\\1&1&-2&3\end{bmatrix}}\)

I usuwając kolumnę z zerami i ostatni wiersz dostałem macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&1\\1&3&1\\2&2&4\end{bmatrix}}\)

I policzyłem wyznacznik na krzyż, wyszło mi 24, ale nie wiem czy to dobrze mam..

[cosinus90]

Źle stosujesz wzór Laplace'a. Wyznacznik 3x3 należy pomnożyć przez element \(\displaystyle{ -2}\) z poprzedniej macierzy, a także \(\displaystyle{ (-1)^{w+k}}\), gdzie litery oznaczają odpowiednio numer wiersza i kolumny, w której położony jest ten element.

[Mariusz M]

Można zastosować rozkład LU albo jego wersję dla macierzy symetrycznych rozkład Choleskiego

[yorgin]

Zamiast pełnego rozkładu LU wystarczyłoby operacjami elementarnymi na wyznaczniku doprowadzić do macierzy górno- albo dolnotrójkątnej, co wymaga zaledwie 6 krótkich kroków.

Ale wzór Laplace'a już okazał się być użyteczny