Dodatnia określoność iloczynu skalarnego

Grypho · Post autor: **Grypho** » 24 lut 2013, o 19:35

\(\displaystyle{ ||x||^{2} =(x|x)=3x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}}\)
Jak udowodnić dodatnią określoność tego? Próbowałem pozwijać ze wzorów skróconego mnożenia ale coś zostawało...

yorgin · Post autor: **yorgin** » 24 lut 2013, o 19:39

Macierz skojarzona z tym dwuliniowym odwzorowaniem

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
3 & -2 & -1\\
-2 & 2 & 1\\
-1 & 1 & 1\end{array}\right]}\)

jest dodatnio określona.

Grypho · Post autor: **Grypho** » 24 lut 2013, o 20:01

Hm, a możesz wyjaśnić jak się tworzy taką macierz? Tej metody nie znałem.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 24 lut 2013, o 20:10

To jest reprezentacja macierzowa formy dwuliniowej, w tym przypadku iloczynu skalarnego.

Ogólnie chodzi o to, by spełniona była równość

\(\displaystyle{ (x,x)=x^T Ax}\)

przy czym \(\displaystyle{ x}\) traktujemy jako wektory kolumnowe. Trochę jest na ten temat na wiki

Macierz \(\displaystyle{ A}\) dobiera się tak, by była symetryczna (dla iloczynu skalarnego nad \(\displaystyle{ \RR}\)).

Wyraz \(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ji}}\) dla \(\displaystyle{ i\neq j}\) to połowa współczynnika stojącego przy wyrażeniu \(\displaystyle{ x_ix_j=x_jx_i}\). Natomiast wyraz \(\displaystyle{ a_{ii}}\) to już pełny współczynnik przy \(\displaystyle{ x_i^2}\)

Grypho · Post autor: **Grypho** » 24 lut 2013, o 20:40

Z tego co napisałeś można używać tej macierzy do obliczania iloczynu skalarnego, zamiast liczyć go ze wzoru, tak?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 24 lut 2013, o 20:48

Można, chociażby dlatego że licząc wartość iloczynu skalarnego i tak musisz dokonać mnożenia wektorów i macierzy, co na jedno wychodzi. Jeśli więc masz wzór, to po prostu licz ze wzoru.

Grypho · Post autor: **Grypho** » 24 lut 2013, o 20:53

Jeszcze jedno pytanie: czy mając tę macierz można jednoznacznie wyznaczyć wzór na iloczyn skalarny?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 24 lut 2013, o 21:21

Można według przepisu, który podałem, czyli

\(\displaystyle{ (x,x)=x^TAx}\)

Grypho · Post autor: **Grypho** » 25 lut 2013, o 17:57

Wpadłem na jeszcze jedno pytanie. Czy z tej macierzy możemy wyciągnąć jeszcze więcej jakichś własności pomocnych przy udowadnianiu że forma jest prawidłowym iloczynem skalarnym?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 25 lut 2013, o 18:08

Macierz musi być dodatnio określona oraz symetryczna, jeśli iloczyn jest nad \(\displaystyle{ \RR}\).

Grypho · Post autor: **Grypho** » 25 lut 2013, o 18:12

I to wystarczy do stwierdzenia że forma jest prawidłowym iloczynem skalarnym?
Ja miałem jeszcze podawaną dwuliniowość...

yorgin · Post autor: **yorgin** » 25 lut 2013, o 18:34

To jeszcze nie wystarczy oczywiście.

Ale jeśli mnie pamięć nie myli, forma dwuliniowa ma reprezentację macierzową

\(\displaystyle{ \phi(x,y)=x^TMy}\)

i ta operacja jest dwuliniowa. A iloczyn skalarny jest takiej samej postaci.

Grypho · Post autor: **Grypho** » 25 lut 2013, o 18:41

Czyli jeśli udowodnimy że forma jest dwuliniowa, to już będzie wszystko?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 25 lut 2013, o 19:11

Zabawa polega na tym, że

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^TMy}\)

jest formą dwuliniową Więc jeśli masz taką reprezentację, to masz dwuliniowość za darmo.

Grypho · Post autor: **Grypho** » 25 lut 2013, o 19:14

I jeśli jestem w stanie doprowadzić do takiej postaci, to też jest dwuliniowe? A co jeśli nie mogę doprowadzić?