Baza złożona z wektorów własnych endomorfizmu

[saute]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \phi : R ^{2} \rightarrow R ^{2}}\) jest endomorfizmem liniowym takim, że \(\displaystyle{ dim \phi(R ^{2})=1}\), to \(\displaystyle{ R ^{2}}\) ma bazę złożoną z wektorów własnych endomorfizmu \(\displaystyle{ \phi}\).

Wiem, że aby \(\displaystyle{ R ^{2}}\) miało bazę złożoną z wektorów własnych tego endomorfizmu to suma wymiarów przestrzeni własnych tego endomorfizmu musi być równa 2. Natomiast nie wiem jak z faktu, że \(\displaystyle{ dim \phi(R ^{2})=1}\) wyciągnąć potrzebne wnioski.

[ando713]

Ja rozumiem to w ten sposób, że jeżeli \(\displaystyle{ dim \phi(R ^{2})=1}\) to wiemy, że przekształcenie \(\displaystyle{ \phi}\) przyporządkowuje wektorom przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{2}}\) jakieś punkty.
W szczególności:
\(\displaystyle{ \phi\left( \left( 1,0\right) \right) = \lambda \left( 1,0)\right}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \left( 0,1\right) \right) = \lambda \left( 0,1)\right}\)
Stąd wynika, że wektory \(\displaystyle{ (1,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1)}\) są wektorami własnymi przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\).
I tego nie jestem do końca pewny, bo nie wiemy co robi przekształcenie \(\displaystyle{ \phi}\). Może być, np. tak, że:
\(\displaystyle{ \phi\left( \left( 1,0\right) \right) = \lambda \left( 0,1)\right}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \left( 0,1\right) \right) = \lambda \left( 1,0)\right}\)

Wtedy wymiar się zgadza, ale nie mamy już wektorów własnych. Więc nie wiem czy moje rozumowanie jest poprawne. Mógłby się ktoś wypowiedzieć?