Funkcja od macierzy Jordana

[Grypho]

Czy funkcje od macierzy Jordana liczy się tak samo jak funkcję od macierzy diagonalnej?

[norwimaj]

I tak, i nie. To zależy, co dokładnie rozumiesz przez liczenie funkcji od macierzy diagonalnej.

[Grypho]

Chodziło mi o to jaką postać przyjmują niediagonalne elementy tej macierzy, i jak dokonać rozkładu macierzy na macierze przejścia i macierz Jordana. Wiem jak wyznaczyć macierz Jordana danej macierzy niediagonalizowalnej, ale nie wiem jak wyznaczyć macierze przejścia.

[norwimaj]

Chodziło mi o to jaką postać przyjmują niediagonalne elementy tej macierzy,

Zastanów się najpierw, jak wygląda klatka Jordana podniesiona do potęgi \(\displaystyle{ n}\).

Na przykład

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{bmatrix}^n=
\left(\begin{bmatrix}3&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\right)^n=\ldots}\)

Dalej można skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona. Co prawda wzór

\(\displaystyle{ (A+B)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk A^kB^{n-k}}\)

nie jest ogólnie prawdziwy dla macierzy, ale jeśli \(\displaystyle{ AB=BA}\), to wtedy tak.

Wiem jak wyznaczyć macierz Jordana danej macierzy niediagonalizowalnej, ale nie wiem jak wyznaczyć macierze przejścia.

Daj jakiś konkretny przykład, to będzie łatwiej.

[Grypho]

Mam takie zadanie
oblicz \(\displaystyle{ e^A}\)
A= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
15&1&17\\
12&0&13\\
-12&-1&-14
\end{array}\right]}\)
wartości własne to podwójne -1 i 3.
Problemem jest to że nie wiem jak rozłożyć tą macierz na macierze przejścia i macierz Jordana.

[norwimaj]

W tym wypadku wystarczy rozwiązać trzy równania (właściwie układy równań).

\(\displaystyle{ (A-3I)x=0}\) - stąd otrzymujemy wektory własne odpowiadające wartości \(\displaystyle{ 3}\). Wybieramy sobie jeden z nich (oczywiście niezerowy) i oznaczamy \(\displaystyle{ v_1}\).

\(\displaystyle{ (A+I)x=0}\) - to samo co wyżej, dla wartości \(\displaystyle{ -1}\). Gdyby tu wyszła dwuwymiarowa przestrzeń rozwiązań, to macierz byłaby diagonalizowalna. Jednak jest jednowymiarowa, więc wybieramy jeden wektor \(\displaystyle{ v_2}\).

\(\displaystyle{ (A+I)x=v_2}\) - rozwiązanie tego równania oznaczamy przez \(\displaystyle{ v_3}\).

Macierz \(\displaystyle{ A}\) ma postać

\(\displaystyle{ J=\begin{bmatrix}3&0&0\\0&-1&1\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)

w bazie \(\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3)}\).

Taka metoda co prawda nie jest ogólna, ale w wielu wypadkach jest wystarczająca.

Dalej mamy \(\displaystyle{ A=SJS^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest macierzą, w której kolumnach stoją wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\).

\(\displaystyle{ e^A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}A^n=S\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}J^n\right)\cdot S^{-1}.}\)

[Grypho]

O to mi chodziło dokładnie.
Jeszcze jedno pytanie: czy sinus/cosinus macierzy liczy się tak samo jak eksponentę? To znaczy czy można przyjąć że działamy funkcją tylko na elementy diagonalne/klatki jordana i mnożymy przez macierze przejścia?

[norwimaj]

Sinus i kosinus, podobnie jak eksponentę, liczymy z szeregu Taylora. Można też liczyć inne funkcje, o ile spełnione są pewne warunki, ale dokładnie nie pamiętam.

[Grypho]

Okej, a w wypadku gdy mamy obliczyć macierz typu
\(\displaystyle{ \cos (aA)}\) gdzie a jest jakąś częścią/wielokrotnością \(\displaystyle{ \pi}\), to trzeba wymnożyć po prostu macierz przez tą liczbę, czy jest jakiś inny sposób?

[norwimaj]

Już sobie przypomniałem to, czego nie pamiętałem. Jeśli się nie pomyliłem w rachunkach, to

\(\displaystyle{ f\left(\begin{bmatrix}3&0&0\\0&-1&1\\0&0&-1\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}f(3)&0&0\\0&f(-1)&f'(-1)\\0&0&f(-1)\end{bmatrix}}\)

(o ile się nie pomyliłem w rachunkach)

i ogólnie jak przykładamy \(\displaystyle{ f}\) do klatki Jordana o wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\), to na przekątnej mamy \(\displaystyle{ f(\lambda)}\), bezpośrednio nad przekątną \(\displaystyle{ f'(\lambda)}\), \(\displaystyle{ k}\) miejsc nad przekątną \(\displaystyle{ \frac{f^{(k)}(\lambda)}{k!}}\).

Okej, a w wypadku gdy mamy obliczyć macierz typu
\(\displaystyle{ cos(aA)}\) gdzie a jest jakąś częścią/wielokrotnością \(\displaystyle{ \pi}\), to trzeba wymnożyć po prostu macierz przez tą liczbę, czy jest jakiś inny sposób?

Po prostu wyznaczasz postać Jordana macierzy \(\displaystyle{ aA}\) i do niej stosujesz wzór. Albo możesz rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ \cos(ax)}\) w szereg Taylora.

[Grypho]

Czyli przykładowo macierz \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\pi}{4}A \right)}\)
można przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\pi}{4}A \right)}\)\(\displaystyle{ =S \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4}J \right) \cdot S^{-1}}\)
Oczywiście w ogólności, jeśli macierz A jest diagonalizowalna to zamiast \(\displaystyle{ J}\) będzie \(\displaystyle{ D}\)
dobrze rozumiem?

[norwimaj]

Tak, wszystko się zgadza. Właściwie dalej można skorzystać z gotowego wzoru dla dowolnej funkcji, biorąc funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\cos(ax)}\).

[Grypho]

To znaczy? Policzyć to z wzoru na a-krotność argumentu?

[norwimaj]

i ogólnie jak przykładamy \(\displaystyle{ f}\) do klatki Jordana o wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\), to na przekątnej mamy \(\displaystyle{ f(\lambda)}\), bezpośrednio nad przekątną \(\displaystyle{ f'(\lambda)}\), \(\displaystyle{ k}\) miejsc nad przekątną \(\displaystyle{ \frac{f^{(k)}(\lambda)}{k!}}\).

O to chodzi. Przy czym nie jestem pewien, czy się w tym nie pomyliłem, więc radzę to zweryfikować.

[Grypho]

Znalazłem coś takiego w książce, czyli powinno się zgadzać.