Układ równań z parametrem

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: fidget »

Wyznaczyć takie wartości parametru k, aby dany układ równań miał jedyne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+3z=3 \\ 3x+y-5z=0 \\ 4x-y+kz=3 \end{cases}}\)

Z Cramera wyszło mi, że układ ma nieskończoną ilość rozwiązań, dla \(\displaystyle{ k \neq \frac{11}{5}}\).

Co teraz?
Podstawiając \(\displaystyle{ k = \frac{11}{5}}\) i licząc układ metodą eliminacji, wychodzi mi:
\(\displaystyle{ x= \frac{-1242}{760} \\ \\
y= \frac{-951}{760} \\ \\
z= \frac{45}{152}}\)

...

Więc pomyślałem, że gdzieś musiałem się w tych obliczeniach walnąć, ale odpowiedź w zbiorze jest... dla mnie niezrozumiała:
\(\displaystyle{ k \neq \frac{11}{5} R\left( A\right) = R\left( A _{b} \right) = 3 \Rightarrow}\) jedno rozwiązanie
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: yorgin »

fidget pisze: Więc pomyślałem, że gdzieś musiałem się w tych obliczeniach walnąć, ale odpowiedź w zbiorze jest... dla mnie niezrozumiała:
\(\displaystyle{ k \neq \frac{11}{5} R\left( A\right) = R\left( A _{b} \right) = 3 \Rightarrow}\) jedno rozwiązanie
Nie mam pojęcia, z jakiego to zbioru, nie wiem dokładnie, jakie to oznaczenia są tam stosowane, ale...

Z tego, co odcyfrowałem, to

Dla \(\displaystyle{ k\neq \frac{11}{5}}\) rząd macierzy układu jest równy rzędowi macierzy dołączonej i jest równy \(\displaystyle{ 3}\). Odpowiednie twierdzenie z algebry mówi Ci wtedy, że taki układ ma jedyne rozwiązanie.
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: fidget »

Nie rozumiem, mógłbyś wyjaśnić to jak dziecku?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: yorgin »

Nie potrafię. Za to Ty powinieneś zajrzeć do wykładu, jeśli nie wiesz co to są macierze, macierze dołączone czy też rząd macierzy.

Albo poczytaj

fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: fidget »

Na zajęciach nic takiego nie mieliśmy.
Korzystamy ze zbioru Jankowskich...
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: yorgin »

A jakie znasz w ogóle metody rozwiązywania układów równań? Z pierwszego postu wnioskuję o metodzie Cramera. Co jeszcze?

I wracając do początku... Napisałeś, że dla \(\displaystyle{ k\neq\frac{11}{5}}\) wychodzi jedno rozwiązanie. Cóż więc więcej chcesz robić w tym zadaniu?
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: fidget »

Znam jeszcze metodę podstawiania, nie pamiętam jak się dokładnie nazywa.
Najpierw używamy Cramera i te liczby, które nie mogą być w Cramerze użyte, tj. \(\displaystyle{ =0}\)
zostają tam użyte,
I wtedy mi wychodzą jakieś wyniki, czasem x,y, albo z stają się liczbami Rzeczywistymi, ale nie wiem kiedy i dlaczego.

I nie wiem co znaczy ta odpowiedź, którą zamieściłem w cytacie.
Oraz z tego wykładu dalej nie rozumiem co to jest macierz dołączona
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: yorgin »

W treści zadania nie ma mowy o liczeniu jakichkolwiek rozwiązań. Po co więc wchodzić w skomplikowane rachunki? Wystarczy policzyć główny wyznacznik układu.

A co do cytatu... Jeśli na wykładzie nie było tego, do czego dałem poprzednio odnośnik, to nie zaprzątaj sobie tym głowy.
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: fidget »

A skąd się wzięło to 3?
I czy to znaczy, że układ Cramera, gdy [macierz] jest różna od zera, to ZAWSZE ma 1 rozwiązanie?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: yorgin »

fidget pisze:A skąd się wzięło to 3?
To jest rząd macierzy.
fidget pisze: I czy to znaczy, że układ Cramera, gdy [macierz] jest różna od zera, to ZAWSZE ma 1 rozwiązanie?
Nie. Jeśli macierz ma same jedynki, to układ może nie mieć rozwiązania, albo może mieć ich nieskończenie wiele.
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: fidget »

Ok, rozumiem już prawie wszystko.
Wyliczyłem tak też kolejne przykłady z tego zadania.

Jednak jedno mnie wciąż trapi - dlaczego mieliśmy wyznaczyć tutaj ten rząd macierzy?
Kiedy mamy go liczyć, bo w zadaniu czystego polecenia odnośnie tego nic nie ma?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Układ równań z parametrem

Post autor: yorgin »

Rząd macierzy pozwala określać liczbę liniowo niezależnych wierszy/kolumn. Jeśli macierz jest kwadratowa, a rząd jest równy wymiarowi macierzy, to wiersze macierzy są liniowo niezależne. Oznacza to, że wyznacznik tej macierzy jest niezerowy, a co za tym idzie - Twój układ równań ma jakieś rozwiązanie. Liczyć to możesz, kiedy chcesz. Czasem możesz liczyć rząd (przydatne dla dużych macierzy), a innym razem wystarczy policzyć wyznacznik całej macierzy (małe macierze). Metodę wybierasz sam. Nie ma reguły.
ODPOWIEDZ