Wyznaczyć takie wartości parametru k, aby dany układ równań miał jedyne rozwiązanie: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+3z=3 \\ 3x+y-5z=0 \\ 4x-y+kz=3 \end{cases}}\)
Z Cramera wyszło mi, że układ ma nieskończoną ilość rozwiązań, dla \(\displaystyle{ k \neq \frac{11}{5}}\).
Co teraz?
Podstawiając \(\displaystyle{ k = \frac{11}{5}}\) i licząc układ metodą eliminacji, wychodzi mi: \(\displaystyle{ x= \frac{-1242}{760} \\ \\
y= \frac{-951}{760} \\ \\
z= \frac{45}{152}}\)
...
Więc pomyślałem, że gdzieś musiałem się w tych obliczeniach walnąć, ale odpowiedź w zbiorze jest... dla mnie niezrozumiała:
\(\displaystyle{ k \neq \frac{11}{5} R\left( A\right) = R\left( A _{b} \right) = 3 \Rightarrow}\) jedno rozwiązanie
fidget pisze:
Więc pomyślałem, że gdzieś musiałem się w tych obliczeniach walnąć, ale odpowiedź w zbiorze jest... dla mnie niezrozumiała:
\(\displaystyle{ k \neq \frac{11}{5} R\left( A\right) = R\left( A _{b} \right) = 3 \Rightarrow}\) jedno rozwiązanie
Nie mam pojęcia, z jakiego to zbioru, nie wiem dokładnie, jakie to oznaczenia są tam stosowane, ale...
Z tego, co odcyfrowałem, to
Dla \(\displaystyle{ k\neq \frac{11}{5}}\) rząd macierzy układu jest równy rzędowi macierzy dołączonej i jest równy \(\displaystyle{ 3}\). Odpowiednie twierdzenie z algebry mówi Ci wtedy, że taki układ ma jedyne rozwiązanie.
A jakie znasz w ogóle metody rozwiązywania układów równań? Z pierwszego postu wnioskuję o metodzie Cramera. Co jeszcze?
I wracając do początku... Napisałeś, że dla \(\displaystyle{ k\neq\frac{11}{5}}\) wychodzi jedno rozwiązanie. Cóż więc więcej chcesz robić w tym zadaniu?
Znam jeszcze metodę podstawiania, nie pamiętam jak się dokładnie nazywa.
Najpierw używamy Cramera i te liczby, które nie mogą być w Cramerze użyte, tj. \(\displaystyle{ =0}\)
zostają tam użyte,
I wtedy mi wychodzą jakieś wyniki, czasem x,y, albo z stają się liczbami Rzeczywistymi, ale nie wiem kiedy i dlaczego.
I nie wiem co znaczy ta odpowiedź, którą zamieściłem w cytacie.
Oraz z tego wykładu dalej nie rozumiem co to jest macierz dołączona
W treści zadania nie ma mowy o liczeniu jakichkolwiek rozwiązań. Po co więc wchodzić w skomplikowane rachunki? Wystarczy policzyć główny wyznacznik układu.
A co do cytatu... Jeśli na wykładzie nie było tego, do czego dałem poprzednio odnośnik, to nie zaprzątaj sobie tym głowy.
Ok, rozumiem już prawie wszystko.
Wyliczyłem tak też kolejne przykłady z tego zadania.
Jednak jedno mnie wciąż trapi - dlaczego mieliśmy wyznaczyć tutaj ten rząd macierzy?
Kiedy mamy go liczyć, bo w zadaniu czystego polecenia odnośnie tego nic nie ma?
Rząd macierzy pozwala określać liczbę liniowo niezależnych wierszy/kolumn. Jeśli macierz jest kwadratowa, a rząd jest równy wymiarowi macierzy, to wiersze macierzy są liniowo niezależne. Oznacza to, że wyznacznik tej macierzy jest niezerowy, a co za tym idzie - Twój układ równań ma jakieś rozwiązanie. Liczyć to możesz, kiedy chcesz. Czasem możesz liczyć rząd (przydatne dla dużych macierzy), a innym razem wystarczy policzyć wyznacznik całej macierzy (małe macierze). Metodę wybierasz sam. Nie ma reguły.