działania na homomorfizmach i macierz homomorfizmu

[perfectsnobody]

Witam,
Prosiłabym bardzo kogoś o pomoc..
kompletnie nie rozumiem zadań z homomorfizmów a jutro poprawa egz ;/ .

Mógłby mi ktoś pomóc chociaż w jednym zadaniu?
zależy mi w szczególności na 1, bo wiem że takie było na egzaminie..


zad.1) a)Napisać macierz homomorfizmu \(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R^{3}}\) , gdzie \(\displaystyle{ f(x,y,z) = (2x,3x+y,y+z)}\) w bazach standardowych.
b) -||- gdzie \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x,y,0)}\) w bazach:
\(\displaystyle{ B= ((1,2,0),(0,-1,1),(0,2,-1))}\),
\(\displaystyle{ B`= ((1,1,1),(1,0,0),(1,1,0))}\).

zad.2) Homomorfizmy \(\displaystyle{ f_{1}: R ^{3} \rightarrow R^{4}, f_{2}: R^{4} \rightarrow R^{2}}\) określone są w bazach standardowych wzorami:
\(\displaystyle{ f _{1}(x,y,z)=(x+2y,x-z,2x+y+z,y+2z)
f_{2}(x,y,z,t)=(x+y+z+t,-2t)}\)
Napisać macierz w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni oraz podać wzór homomorfizmu
\(\displaystyle{ f_{2} \circ f_{1}}\)

* - to jest złożenie , nie moge znaleźć tutaj symbolu.
bardzo dziękuje za pomoc

\Złożenie to circ, strzałka:
ightarrow

[norwimaj]

1.
a) \(\displaystyle{ f(1,0,0)=\ldots}\)

\(\displaystyle{ f(0,1,0)=\ldots}\)

...

b) \(\displaystyle{ f(1,2,0)=\ldots}\)

...

[perfectsnobody]

skąd to się wzięło ..?
i co mam z tym zrobić ?

[norwimaj]

Wiesz co to jest macierz przekształcenia?

[perfectsnobody]

macierz przekształcenia to bedzię :

A = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&0&0\\3&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}\) ???

tylko co dalej.. i czy wgl dobrze napisalam?

jeśli chodzi o przykład a , bo w pozostałych przykładach to wgl nie wiem jak to zrobić -.--- 17 lut 2013, o 17:56 --

1.
a) \(\displaystyle{ f(1,0,0)=\ldots}\)

\(\displaystyle{ f(0,1,0)=\ldots}\)

...

b) \(\displaystyle{ f(1,2,0)=\ldots}\)

...

jeśli chodzi o to wiem zapis skąd sie wziął tylko nie wiem co jest dalej po " = " co tam mam zapisać?

[norwimaj]

Jest to dobra odpowiedź do punktu a).



\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x,y,0)}\) - to masz w treści zadania,

\(\displaystyle{ f(1,2,0)=\ldots}\) - tu wystarczy przepisać powyższy napis, wstawiając \(\displaystyle{ 1}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ 2}\) zamiast \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ 0}\) zamiast \(\displaystyle{ z}\).

[perfectsnobody]

ale w a to już odpowiedź?
bo ma być macierz homomorfizmu


czyli w b mam :

\(\displaystyle{ f(1,2,0)=(1,2,0)}\) ?
\(\displaystyle{ f(0,-1,1)=(0,-1,0)}\) ... ?
czy zle rozumiem ?


dziękuje

[norwimaj]

ale w a to już odpowiedź?
bo ma być macierz homomorfizmu

W algebrze liniowej homomorfizm to po prostu przekształcenie liniowe.

f(1,2,0)=(1,2,0) ?
f(0,-1,1)=(0,-1,0) ... ?

Teraz wektory \(\displaystyle{ (1,2,0),(0,-1,0)}\) i ten trzeci zapisz w bazie \(\displaystyle{ B`}\).

[perfectsnobody]

\(\displaystyle{ \left( 1,2,0\right) = a \left( 1,1,1\right) +b \left( 1,0,0\right) + c\left( 1,1,0 \right)}\)
i pozostałe i mam macierz tak?

[norwimaj]

Otrzymane z powyższego równania liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) utworzą pierwszą kolumnę macierzy. Analogiczne dwa równania dadzą pozostałe dwie kolumny. Można wszystkie trzy równania rozwiązywać jednocześnie. Jak ten temat dobrze opanujesz, to może nawet wynajdziesz takie narzędzie, które się nazywa macierzą zmiany bazy.