Odwzorowania liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
tadek667
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 29 sty 2011, o 21:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Odwzorowania liniowe

Post autor: tadek667 »

Cześć, zmagam się z całą stertą zadań z algebry przed egzaminem i przez większość udało mi się jakoś przebrnąć ( również dzięki matematyka.pl - pozdro ) ale te zadania dalej nie dają mi spokoju . Docenie każdą pomoc jednak prosiłbym wziąć pod uwagę fakt, że średnio rozumiem temat więc wolałbym wszystko krok po kroku :

Zad 1 . Mamy odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x+y-z,2x+z,3x-y+2z)}\) , trzeba wyznaczyć macierz tego odwzorowania w bazach kanonicznych . Mnie wyszła taka : \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&-1\\2&0&1\\3&-1&2\end{bmatrix}}\). Następnie wyznaczyć \(\displaystyle{ M _{f}(B)}\) , korzystając z macierzy \(\displaystyle{ A}\) jeśli \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 1&0&0\\1&1&1\\0&-1&2\end{bmatrix}}\). Posłużyłem się tutaj wzorem \(\displaystyle{ A'=B ^{-1}AB}\) i otrzymałem, że \(\displaystyle{ A'= \frac{1}{3} \begin{bmatrix}6&6&3\\-1&-2&4\\6&-2&10\end{bmatrix}}\). I teraz :
a) wyznaczyć \(\displaystyle{ f(-1,-1,0)}\) korzystając z macierzy \(\displaystyle{ A}\)
b) wyznaczyć \(\displaystyle{ f(-1,-1,0)}\) korzystając z macierzy \(\displaystyle{ M _{f}(B)}\). Jak to zrobić ?

Zad 2. Mamy endomorfizm przestrzeni V oraz \(\displaystyle{ B=(u,v,w,z)}\) baze tej przestrzeni. Wiemy, że :\(\displaystyle{ f(u)=u-w,f(w)=u+v+w,f(z)=-z}\) . Mamy podać macierz A tego endomofrizmu w bazie B . Ponadto korzystając z macierzy A wyznaczyć f(y) , gdzie y=u+2v-3w ( podać własności jeszcze ale to już sobie poradze jak bede mieć reszte) . Kompletnie nie wiem jak sie za to zabrać

Zad 3. Dana jest macierz \(\displaystyle{ P _{B2 \rightarrow B1} = \begin{bmatrix}-1&1&0\\1&0&-1\\0&-1&-1\end{bmatrix}}\) przejścia od Bazy B2 do bazy B1 jakiejś przestrzeni wektorowej V. Trzeba znalezc baze B2 i wspolrzedne wektora v w bazie B2 jesli \(\displaystyle{ v=(2,0,1) _{B1}}\) . Jakoś tak samo się nasuwa chyba, że trzeba skorzystać z tego wzoru z macierzą przejścia \(\displaystyle{ A'=B ^{-1}AB}\) tylko nie za bardzo wiem jak.
ODPOWIEDZ