Macierz przekształcenia liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Milenka L
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 sty 2013, o 14:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk

Macierz przekształcenia liniowego

Post autor: Milenka L »

Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego\(\displaystyle{ T : R^{3} \rightarrow R^{3}}\) względem bazy standardowej \(\displaystyle{ E = (e_{1}, e_{2}, e_{3})}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) , jeśli \(\displaystyle{ T(a_{i}) = b_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, 3}\), gdy \(\displaystyle{ a_{1} = (2, 3, 5), a_{2} = (0, 1, 2), a_{3} = (1, 0, 1), b_{1} = (1, 1, 1), b_{2} = (1, 1,−1), b_{3} = (2, 1, 2).}\)

Wie ktos jak to zrobic i moglby mi wyjasnic? Nawet nie koniecznie rozwiazywac, bardziej opisac co trzeba tu zrobic?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Macierz przekształcenia liniowego

Post autor: bartek118 »

Policzyć ile wynosi \(\displaystyle{ T(1,0,0), T(0,1,0), T(0,0,1)}\).
Grypho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Macierz przekształcenia liniowego

Post autor: Grypho »

Jako, że autorka chyba straciła zainteresowanie tematem, podam swoje rozwiązanie, i proszę kogoś o sprawdzenie
\(\displaystyle{ T \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\2&1&2\end{array}\right]}\)
Gdzie T jest macierzą . Dalej mnożymy prawostronnie obie strony równania przez

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]^{-1}}\)
i otrzymujemy macierz T.

Teraz, aby otrzymać macierz przekształcenia w bazie standardowej, liczymy to co napisał Kolega bartek118.
Czy ten sposób jest dobry?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Macierz przekształcenia liniowego

Post autor: Dasio11 »

Końcówka dowodu zdaje mi się nie grać z początkiem, choć może czegoś nie rozumiem. Przecież teraz chcesz policzyć

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]^{-1}}\)

i pomnożyć przez

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\2&1&2\end{array}\right],}\)

i to będzie \(\displaystyle{ T.}\)
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Macierz przekształcenia liniowego

Post autor: norwimaj »

Szukaną macierzą jest \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\1 & 1& 1 \\1& 1&2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\3 & 1& 0 \\5& 2&1\end{bmatrix}^{-1}}\), o ile się nie mylę.-- 23 lut 2013, o 18:45 --Gdyby te wektory miałyby być wpisywane w wierszach, to dla przekształcenia \(\displaystyle{ T:\RR^3\to\RR^4}\) w napisanej równości nie zgadzałyby się rozmiary macierzy:
Grypho pisze: \(\displaystyle{ T \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\2&1&2\end{array}\right]}\)
Gdzie T jest macierzą . Dalej mnożymy prawostronnie obie strony równania przez
Grypho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Macierz przekształcenia liniowego

Post autor: Grypho »

@Dasio11
Czyli po prostu T jest macierzą przekształcenia i nie trzeba wypisywać T od wersorów?
@norwimaj
Dlaczego nie mogę tych wektorów zapisać wierszowo? Co to znaczy że nie zgadzałyby się rozmiary macierzy?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Macierz przekształcenia liniowego

Post autor: Dasio11 »

Macierzy nie trzeba wypisywać od wersorów, jej współczynniki można wyznaczyć jak się chce.
Nie za bardzo spojrzałem na te macierze, które zrobiłeś z wektorów - dzięki, norwimaj, za wyłapanie.
Chodzi o to, że z równości

\(\displaystyle{ T \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \\
T \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \\
T \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \\}\)


można wywnioskować, że

\(\displaystyle{ T \left( \begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right),}\)

i wynika to ze sposobu mnożenia macierzy i nakładania ich na wektor. Gdyby te wektory zapisać wierszowo, to mnożenie przez taką macierz przestałoby być podobne do mnożenia przez te trzy wektory, więc trudno byłoby coś wywnioskować.
Grypho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 2 razy

Macierz przekształcenia liniowego

Post autor: Grypho »

okej, i teraz po prostu mnożymy prawostronnie obydwie strony równania przez odwrotność tej pierwszej macierzy i otrzymujemy macierz przekształcenia?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Macierz przekształcenia liniowego

Post autor: Dasio11 »

Tak.
ODPOWIEDZ