Macierz przekształcenia liniowego
Macierz przekształcenia liniowego
Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego\(\displaystyle{ T : R^{3} \rightarrow R^{3}}\) względem bazy standardowej \(\displaystyle{ E = (e_{1}, e_{2}, e_{3})}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) , jeśli \(\displaystyle{ T(a_{i}) = b_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, 3}\), gdy \(\displaystyle{ a_{1} = (2, 3, 5), a_{2} = (0, 1, 2), a_{3} = (1, 0, 1), b_{1} = (1, 1, 1), b_{2} = (1, 1,−1), b_{3} = (2, 1, 2).}\)
Wie ktos jak to zrobic i moglby mi wyjasnic? Nawet nie koniecznie rozwiazywac, bardziej opisac co trzeba tu zrobic?
Wie ktos jak to zrobic i moglby mi wyjasnic? Nawet nie koniecznie rozwiazywac, bardziej opisac co trzeba tu zrobic?
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Macierz przekształcenia liniowego
Jako, że autorka chyba straciła zainteresowanie tematem, podam swoje rozwiązanie, i proszę kogoś o sprawdzenie
\(\displaystyle{ T \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\2&1&2\end{array}\right]}\)
Gdzie T jest macierzą . Dalej mnożymy prawostronnie obie strony równania przez
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]^{-1}}\)
i otrzymujemy macierz T.
Teraz, aby otrzymać macierz przekształcenia w bazie standardowej, liczymy to co napisał Kolega bartek118.
Czy ten sposób jest dobry?
\(\displaystyle{ T \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\2&1&2\end{array}\right]}\)
Gdzie T jest macierzą . Dalej mnożymy prawostronnie obie strony równania przez
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]^{-1}}\)
i otrzymujemy macierz T.
Teraz, aby otrzymać macierz przekształcenia w bazie standardowej, liczymy to co napisał Kolega bartek118.
Czy ten sposób jest dobry?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Macierz przekształcenia liniowego
Końcówka dowodu zdaje mi się nie grać z początkiem, choć może czegoś nie rozumiem. Przecież teraz chcesz policzyć
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]^{-1}}\)
i pomnożyć przez
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\2&1&2\end{array}\right],}\)
i to będzie \(\displaystyle{ T.}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]^{-1}}\)
i pomnożyć przez
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\2&1&2\end{array}\right],}\)
i to będzie \(\displaystyle{ T.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Macierz przekształcenia liniowego
Szukaną macierzą jest \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\1 & 1& 1 \\1& 1&2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\3 & 1& 0 \\5& 2&1\end{bmatrix}^{-1}}\), o ile się nie mylę.-- 23 lut 2013, o 18:45 --Gdyby te wektory miałyby być wpisywane w wierszach, to dla przekształcenia \(\displaystyle{ T:\RR^3\to\RR^4}\) w napisanej równości nie zgadzałyby się rozmiary macierzy:
Grypho pisze: \(\displaystyle{ T \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\2&1&2\end{array}\right]}\)
Gdzie T jest macierzą . Dalej mnożymy prawostronnie obie strony równania przez
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Macierz przekształcenia liniowego
@Dasio11
Czyli po prostu T jest macierzą przekształcenia i nie trzeba wypisywać T od wersorów?
@norwimaj
Dlaczego nie mogę tych wektorów zapisać wierszowo? Co to znaczy że nie zgadzałyby się rozmiary macierzy?
Czyli po prostu T jest macierzą przekształcenia i nie trzeba wypisywać T od wersorów?
@norwimaj
Dlaczego nie mogę tych wektorów zapisać wierszowo? Co to znaczy że nie zgadzałyby się rozmiary macierzy?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Macierz przekształcenia liniowego
Macierzy nie trzeba wypisywać od wersorów, jej współczynniki można wyznaczyć jak się chce.
Nie za bardzo spojrzałem na te macierze, które zrobiłeś z wektorów - dzięki, norwimaj, za wyłapanie.
Chodzi o to, że z równości
\(\displaystyle{ T \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \\
T \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \\
T \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \\}\)
można wywnioskować, że
\(\displaystyle{ T \left( \begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right),}\)
i wynika to ze sposobu mnożenia macierzy i nakładania ich na wektor. Gdyby te wektory zapisać wierszowo, to mnożenie przez taką macierz przestałoby być podobne do mnożenia przez te trzy wektory, więc trudno byłoby coś wywnioskować.
Nie za bardzo spojrzałem na te macierze, które zrobiłeś z wektorów - dzięki, norwimaj, za wyłapanie.
Chodzi o to, że z równości
\(\displaystyle{ T \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \\
T \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \\
T \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \\}\)
można wywnioskować, że
\(\displaystyle{ T \left( \begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right),}\)
i wynika to ze sposobu mnożenia macierzy i nakładania ich na wektor. Gdyby te wektory zapisać wierszowo, to mnożenie przez taką macierz przestałoby być podobne do mnożenia przez te trzy wektory, więc trudno byłoby coś wywnioskować.
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Macierz przekształcenia liniowego
okej, i teraz po prostu mnożymy prawostronnie obydwie strony równania przez odwrotność tej pierwszej macierzy i otrzymujemy macierz przekształcenia?