Wyznaczanie jądra i obrazu odwzrowania

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Trishak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 lut 2013, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Wyznaczanie jądra i obrazu odwzrowania

Post autor: Trishak »

Witam!
Zadanie to
Niech \(\displaystyle{ f : ( x_{1} , x_{2}, x_{3}, x_{4} ) \in R^{4} \rightarrow (x _{1}+ x _{2},2x _{3}+x _{4}) \in R^{2}}\). Wyznaczyć jądro i obraz odwzorowania (podać wymiar \(\displaystyle{ Ker f}\) , bazy \(\displaystyle{ Ker f}\) i \(\displaystyle{ Lm f}\).

Szukam już na forum od jakiegoś czasu jednak znajduję przykłady, gdzie choć jeden z x-ów jest w obu równaniach potrzebnych do wyliczenia jądra.

Tu natomiast wychodzi na to, że mamy dwa równania :
\(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} = 0}\)
i
\(\displaystyle{ 2x _{3} + x _{4} = 0}\)

Bardzo proszę o pomoc i z góry dziękuje!
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Wyznaczanie jądra i obrazu odwzrowania

Post autor: lukasz1804 »

Nic nie przeszkadza, że w równaniach \(\displaystyle{ x_1+x_2=0, 2x_3+x_4=0}\) żadna z niewiadomych się nie powtarza. Mamy \(\displaystyle{ x_2=-x_1, x_4=-x_3}\), więc \(\displaystyle{ Ker f\ni(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1,-x_1,x_3,-2x_3)=x_1(1,-1,0,0)+x_3(0,0,1,-2)}\).
Z tej postaci można wprost odczytać bazę \(\displaystyle{ Ker f}\).
Trishak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 lut 2013, o 15:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Wyznaczanie jądra i obrazu odwzrowania

Post autor: Trishak »

Dzięki wielkie za szybką odpowiedź. Czy mógł by mi ktoś jeszcze wytłumaczyć jak wyliczyć teraz \(\displaystyle{ Im f}\) i \(\displaystyle{ dim Ker f}\)?
ODPOWIEDZ