Rzutowanie wektora (obliczanie rzutu ortogonalnego)

[nightrod]

Witam. Mam takie zadanie:

1. Oblicz rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ b = \begin{bmatrix} 1\\3\\5\end{bmatrix}}\) na wektor \(\displaystyle{ a =\begin{bmatrix} 4\\8\\9\end{bmatrix}}\)

Wzór jaki stosuję na macierz rzutującą to: \(\displaystyle{ P= \frac{a \cdot a^{t} }{ a^{t} \cdot a }}\)

Prawidłowy wynik rzutowania po operacji \(\displaystyle{ P\cdot b}\) to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2\\4\\3\end{bmatrix}}\)

Moje obliczenia zgodne ze wzorem na macierz rzutującą są inne. Widać gołym okiem, że wektor a będzie miał większe wartości po przemnożeniu. Jak w takim razie przeprowadzić obliczenia, aby dojść do rozwiązania: \(\displaystyle{ P\cdot b=\begin{bmatrix} 2\\4\\3\end{bmatrix}}\) ?

Z góry dziękuję za pomoc.