Wyznaczanie odwzorowania liniowego z macierzy

[tadek667]

Cześć ,

zmagam się z takim zadaniem :

Dana jest macierz : \(\displaystyle{ M _{f} (B) , f:R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\) jest liniowe . \(\displaystyle{ B : u _{1}=(1,-1,0) , u _{2} =(0,1,1), u _{3} =(0,0,1) . M _{f} (B)= \left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\-1&1&0\\0&1&1\end{array}\right]}\) . Trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ f(1,0,0)}\) .

Więc zrobiłem sobie macierz B , poprzez ułożenie wektorów u1, u2, u3 pionowo . Żeby znaleźć przepis na odwzorowanie f sprawdzam jakie współrzędne mają wektory \(\displaystyle{ (1,-1,0),(2,1,1),(0,0,1)}\) w bazie B . Wychodzą mi wartości odpowiednio \(\displaystyle{ ((1,-1,0) _{B}=(2,-1,0) ,(2,1,1) _{B}=(2,0,1) ,(0,0,1) _{B}=(1,-1,1)}\) . Z tego moge teraz zapisać :
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=x(2,-1,0)+y(2,0,1)+z(1,-1,1)=(2x+2y+z,-x-z,y+z)}\) , więc f(1,0,0) = [1,-1,0] .

Czy to zadanie rozwiązane jest poprawnie ? Mam pewne wątpliwości gdyż nie czuje się zbyt mocny z algebry , prosze o sprawdzenie i ewentualne sugestie co do poprawnego rozwiązania , dzięki z gory - pozdrawiam.

[norwimaj]

Czy \(\displaystyle{ M _{f} (B)}\) oznacza macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\)? (czyli na przykład \(\displaystyle{ f(u_2)=2u_1+u_2+u_3}\)?)

Jeśli tak, to najpierw \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) trzeba zapisać jako kombinację wektorów bazowych. \(\displaystyle{ (1,0,0)=u_1+u_2-u_3}\).

[tadek667]

Mógłbyś to jakoś wytłumaczyć ? Albo pokazać jak to rozwiązać , to wtedy zrozumiem . Pozdrawiam i dzięki za zainteresowanie.

[norwimaj]

Co wytłumaczyć? Jak dojść do równości \(\displaystyle{ (1,0,0)=u_1+u_2-u_3}\), czy jak z tego wynika rozwiązanie zadania?

[tadek667]

Wiesz co i jedno i drugie, bo troche mi sie miesza juz to wszystko a rozumiem, że zagadnienie pomimo ze do zrobienia to jednak nietrywialne i nie można wytłumaczyć na jabłkach

[norwimaj]

Na samych jabłkach rzeczywiście tego się nie da, bo przestrzeń jest trójwymiarowa i trzeba co najmniej trzech rodzajów owoców. Ale łatwiej mi będzie na samych liczbach i wektorach.

Najpierw wektor \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) zapisujemy w bazie \(\displaystyle{ B}\). Czyli chcemy znaleźć takie liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\), że \(\displaystyle{ (1,0,0)=au_1+bu_2+cu_3}\). To równanie wektorowe można zamienić na układ równań (na każdej współrzędnej osobne równanie). Z tego układu możemy wyliczyć niewiadome \(\displaystyle{ a,b,c}\).

Gdy już to mamy, to zapisujemy

\(\displaystyle{ f((1,0,0))=f(au_1+bu_2+cu_3)=\ldots}\)

W kolejnej równości korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe.

[tadek667]

Ok , postaram się tak zrobić i zobacze jak pójdzie mi ze zrozumieniem, w razie czego bede sie odzywac dzieki .-- 14 lut 2013, o 22:32 --Ok zrobiłem jak mówiłeś. Policzyłem współrzędne wektora \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\) i otrzymałem, że \(\displaystyle{ (1,0,0) _{B}=(1,1,-1)}\) i teraz mam , że :
\(\displaystyle{ f(1,0,0)=f(au _{1} +bu _{2} +cu _{3}= af(u _{1})+ bf(u _{2}) + cf(u _{3}) = f(1,-1,0) + f(0,1,1) - f(0,0,1 ) = ...}\)

I NIE WIEM CO DALEJ ...