W ciele Z rozwiązać równanie

[Honzik18]

\(\displaystyle{ Z_{29}}\) \(\displaystyle{ 9x+ 2^{59} =10}\)

Z małego tw. fermata:
\(\displaystyle{ 2 ^{28} =1}\) w \(\displaystyle{ Z_{29}}\)
\(\displaystyle{ (2 ^{28})^{2} \times 2 ^{3}= 2 ^{3}=8}\)
\(\displaystyle{ 9x+8=10 \Leftrightarrow x=9 ^{-1} \times 8 ^{-1} \times 10}\)

\(\displaystyle{ x=9 ^{-1} w Z_{29}}\)

\(\displaystyle{ 29=3 \times 7+2}\)
\(\displaystyle{ 7=3 \times 2+1 \Rightarrow 1=7-3 \times 2 = 1=7-3 \times (29-3 \times 7) = 7 -3 \times 29 +3 \times 8}\)
W tym momencie się zacinam, mógł by ktoś rozjaśnić, poprawić?

[johnny1591]

Masz równanie :

\(\displaystyle{ 9x+8=10}\)
Nie rozumiem, jak dalej zamieniłeś to na równoważność.
\(\displaystyle{ 9x=2}\) w \(\displaystyle{ Z _{29}}\)
Wobec tego masz do rozwiązania następującą kongruencję:
\(\displaystyle{ 9x \equiv 2 \pmod{29} \\
9x \equiv -27 \pmod{29} \\
x \equiv -3 \pmod{29}\\
x \equiv 26 \pmod{29}}\)

Stąd rozwiązaniem równania w podanym ciele jest \(\displaystyle{ x=26}\)

[Honzik18]

Dzięki za pomoc