Wymiar podprzestrzeni w zależności od parametru

[tadek667]

Witam, zadanie z pozoru proste trochę przysporzyło mi kłopotów. Jak w temacie , mamy podprzestrzeń w \(\displaystyle{ R ^{4}}\)
\(\displaystyle{ (x,y,z,t):x+y+z+t=0,x-ky+z+t=0,x-y+kz=0}\) .

Ułożyłem sobie macierz tej podprzestrzeni złożoną z wektorów \(\displaystyle{ (1,1,1) (1,-k,-1) (1,1,k) (1,1,0)}\) i z racji tego, że ta macierz jest 3x4 pomyślałem, że mogę jakoś doprowadzić ją do postaci schodkowej ale tam sie pogubiłem chyba, bo nie udało mi się wyzerować elementów poniżej głównej przekątnej . Mógłby ktoś pomóc ?

[octahedron]

\(\displaystyle{ t=-x-y-z\\\\
x-ky+z+t=-y(1+k)=0\\\\
a)\,k\ne -1\Rightarrow y=0\\\\
x-y+kz=x+kz=0 \Rightarrow x=-kz\\\\
(x,y,z,t)=(-kz,0,z,(k-1)z)=z\cdot(-k,0,1,k-1) \Rightarrow \dim V=1\\\\
b)\,k=-1 \Rightarrow y\in R\\\\
x-y-z=0\\\\
x=y+z\\\\
(x,y,z,t)=(y+z,y,z,-2y-2z)=y\cdot(1,1,0,-2)+z\cdot(1,0,1,-2)\Rightarrow\dim V=2}\)