Równanie macierzowe

[iluzjonista]

Nie wiem jak mam to zrobić, umiem jako tako rozwiązywać układy Cramera i wg. Kroneckera-Capellego, wyznacznik macierzy.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&0\\-1&0&-1\end{array}\right] \cdot X = \begin{bmatrix} 2\\0\\0\end{bmatrix}}\)

[octahedron]

A odwracać macierz umiesz?

[iluzjonista]

Nie umiem. Jaka to metoda?

[Mariusz M]

Masz równanie macierzowe \(\displaystyle{ AX=B}\)
Mnożysz lewstronnie przez macierz odwrotną obie strony równania
\(\displaystyle{ A^{-1}AX=A^{-1}B\\
IX=A^{-1}B\\
X=A^{-1}B}\)

Możesz operacjami elementarnymi (pamiętasz z podstawówki metodę przeciwnych współczynników ?)

\(\displaystyle{ \left[ A|I\right] \rightarrow\left[ I|A^{-1}\right]}\)

a możesz wyznacznikami \(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det{A}}\left( A^{D}\right)^{T}}\)

\(\displaystyle{ A^{D}_{ij}=\left( -1\right)^{i+j} \det{A_{ij}}}\)

\(\displaystyle{ A_{ij}}\) macierz z wykreślonym wierszem i.
oraz kolumną j.

[iluzjonista]

Ale co mi po obliczonym wyznaczniku? Mam rozwiązać równanie.

[octahedron]

\(\displaystyle{ X}\) musi być wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 1}\), więc można to potraktować jako układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x_1+x_3=2\\x_2=0\\-x_1-x_3=0\end{cases}\\\\
X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}}\)

[Mariusz M]

Jeżeli chcesz obliczyć macierz odwrotną to albo liczysz wyznaczniki
albo do odwracanej macierzy dopisujesz macierz jednostkową i metodą znaną z podstawówki jako
metoda przeciwnych współczynników sprowadzasz lewy blok macierzy do macierzy jednostkowej
wtedy prawy blok macierzy przyjmie postać macierzy odwrotnej
Jeżeli chcesz wyznacznikami to liczysz wyznacznik całej macierzy a następnie
wyznaczniki macierzy z wykreślonym wierszem i kolumną
(to tak jakbyś rozwiązywał równanie AB=I metodą Cramera rozbijając macierz B na kolumny)

[iluzjonista]

Okej, wyznacznik z \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&0\\-1&0&-1\end{array}\right]}\) wyszedl mi -1, czyli rząd tej macierzy wynosi 3
Wyznacznik z A|B czyli \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&0&1&2\\0&1&0&0\\-1&0&-1&0\end{array}\right]}\) wyszedl -2, a rzad 3
czyli jesli rzadA = rzadA|B =m (liczba niewiadomych:x1,x2,x3) to uklad posiada tylko 1 rozwiazanie

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&0&1&1&0&0 \\0&1&0&0&1&0\\-1&0&-1&0&0&1 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} 2&0&1&1&0&0 \\0&1&0&0&1&0\\-2&0&-2&0&0&2 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} 2&0&1&1&0&0 \\0&1&0&0&1&0\\0&0&-1&1&0&2 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} 2&0&0&2&0&2 \\0&1&0&0&1&0\\0&0&-1&1&0&2 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} 1&0&0&1&0&1 \\0&1&0&0&1&0\\0&0&1&-1&0&-2 \end{bmatrix} \\
A^{-1}= \begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&0\\-1&0&-2 \end{bmatrix}}\)