obliczyc wyznacznik

[waliant]

oblicz wyznacznik:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1+x&x ^{2} &x ^{3}&...&x ^{n} \\x&1+x ^{2} &x ^{3} &...&x ^{n} \\x&x ^{2} &1+x ^{3}&...&x ^{n} \\:&:&:&.&:\\x&x ^{2}&x ^{3} &...&1+x ^{n} \end{vmatrix}}\)

[szw1710]

Skorzystałbym z addytywności wyznacznika względem pierwszej kolumny (rozbiłbym na sumę dwóch wyznaczników), a następnie szukał analogii związanych z wyznacznikami niższego rzędu.

[waliant]

niestety nie bardzo rozumiem

[Qń]

Odejmij najpierw ostatni wiersz od wszystkich pozostałych, a następnie dodaj do ostatniej kolumny wszystkie pozostałe. Powstanie macierz trójkątna, z której już łatwo policzyć wyznacznik.

Q.

[waliant]

czy zatem bedzie to wygladalo tak:



\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&0&...&0 \\0&1 &0 &...&0\\0&0 &1&...&0 \\:&:&:&.&:\\x&x ^{2}&x ^{3} &...&1+x ^{n}+x ^{2}+x ^{3} \end{vmatrix} = 1+x ^{n}+x ^{2}+x ^{3}}\) ?

[Qń]

No zaraz - przecież w dolnym prawym rogu tej macierzy będzie coś innego. Co według Ciebie oznaczają wielokropki użyte w tej macierzy? Czy potrafisz napisać całą taką macierz np. dla \(\displaystyle{ n=6}\)?

Q.

[waliant]

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1+x&x ^{2} &x ^{3}&x ^{4} &x ^{5} \\x&1+x ^{2} &x ^{3} &x ^{4} &x ^{5} \\x&x ^{2} &1+x ^{3}&x ^{4} &x ^{5} \\x&x ^{2} &x ^{3} &1+x ^{4} &x ^{5} \\x&x ^{2}&x ^{3} &x ^{4} &1+x ^{5} \end{vmatrix}}\)

dla \(\displaystyle{ n=5}\)

[szw1710]

Nie bądź tak precyzyjny Qń prosił zapewne o chwilę zastanowienia w tym przypadku szczególnym po to, aby móc dostrzec prawidłowości ogólne.

[waliant]

no ok w takim razie w czym tkwi błąd?

[Qń]

Spróbuj policzyć wyznacznik dla \(\displaystyle{ n=5}\), porównać wynik w dolnym prawym rogu z wyrażeniem \(\displaystyle{ 1+x ^{n}+x ^{2}+x ^{3}}\) i następnie zastanowić się jak powinno to wyglądać w ogólnym przypadku.

Q.