Baza, podprzestrzenie liniowe

mainik · Post autor: **mainik** » 11 lut 2013, o 11:54

Wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3} \in \mathbb{R}^{3}}\) są liniowo niezależne. \(\displaystyle{ V_{1} = lin(v_{1}+v_{2}, v_{1}+v_{3}, v_{1}+2v_{2}-v_{3}) \\
V_{2} = lin (v_{2}-v_{3}, v_{1}+v_{3}, 2v_{1}+2v_{3})}\). Uzasadnić, że \(\displaystyle{ V_{1}=V_{2}=W}\).
Podać bazę p. \(\displaystyle{ W}\). Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ w=v_{1}+5v_{2}-4v_{3}}\) należy do p. \(\displaystyle{ W}\), jeśli tak, to podać jego współrzędne w wybranej bazie.

Bardzo proszę o wskazówki do tego zadania.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 11 lut 2013, o 13:01

\(\displaystyle{ v_1+2v_2-v_3=2(v_1+v_2)-(v_1+v_3) \Rightarrow V_1=\mathrm{lin}(v_1+v_2,v_1+v_3)\\\\
2v_1+2v_3=2(v_1+v_3)\Rightarrow V_2=\mathrm{lin}(v_2-v_3,v_1+v_3)\\\\
v_2-v_3=(v_1+v_2)-(v_1+v_3) \Rightarrow \mathrm{lin}(v_1+v_2,v_1+v_3)=\mathrm{lin}(v_2-v_3,v_1+v_3)\Rightarrow \\\\ \Rightarrow V_1=V_2\\\\
B=\left\{v_1+v_2,v_1+v_3\right\}\\\\
w=v_1+5v_2-4v_3=5(v_1+v_2)-4(v_1+v_3)\in\mathrm{lin}(v_1+v_2,v_1+v_3)\\\\
w=(5,-4)_B}\)

mainik · Post autor: **mainik** » 11 lut 2013, o 18:16

\(\displaystyle{ v_2-v_3=(v_1+v_2)-(v_1+v_3) \Rightarrow \mathrm{lin}(v_1+v_2,v_1+v_3)=\mathrm{lin}(v_2-v_3,v_1+v_3)}\)
A skąd wynika to przejście?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 11 lut 2013, o 22:15

Wektory z jednego zbioru generującego są kombinacją wektorów z drugiego. Każda kombinacja liniowa wektorów z jednego zbioru jest też kombinacją wektorów ze zbioru drugiego.