Wyznacznik, skomplikowany przykład

[majczalek]

Witam.
Proszę o pomoc z poniższym zadaniem. Wydaje mi się, że w pewnym stopniu potrafię działania na macierzach, jednak nie mam pojęcia jak "ugryźć" ten przykład:

Macierz \(\displaystyle{ A}\) ma wymiar \(\displaystyle{ 5x5}\). Wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 2(A ^{2}) ^{T}}\) jest równy \(\displaystyle{ 288}\). Oblicz wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Proszę o pomoc z tym zadaniem.
Pozdrawiam, majczalek

[yorgin]

\(\displaystyle{ \det (2 (A^2)^T)=2^5\det (A^2)^T=32\cdot \det A^2=32\cdot (\det A)^2}\)

\(\displaystyle{ 288=32\cdot (\det A)^2\Rightarrow \det A= ?}\)

[majczalek]

Nie rozumiem za bardzo pierwszego przejścia. Czemu \(\displaystyle{ det(2(A ^{2} ) ^{T} = 2 ^{5} det(A ^{2}) ^{T}}\) ?

[yorgin]

Jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest wymiaru \(\displaystyle{ n\times n}\), to \(\displaystyle{ \det kA=k^n\det A}\). Wynika to z \(\displaystyle{ n-}\)liniowości wyznacznika.

Inaczej, zamiast myśleć o odwzorowaniach liniowych zauważ, że mnożąc każdy wyraz macierzy przez stałą liczbę \(\displaystyle{ k}\), podczas liczenia wyznacznika będziesz mieć składniki złożone z iloczynu \(\displaystyle{ n}\) liczb z macierzy, gdzie każdy wyraz jest postaci \(\displaystyle{ ka_{ij}}\). Ponieważ mnożymy przez siebie liczbę \(\displaystyle{ k}\) dokładnie \(\displaystyle{ n}\) razy, wyjdzie \(\displaystyle{ k^n}\) przed każdym składnikiem.

[majczalek]

Dziękuję za pomoc, już rozumiem jak robić podobne zadania. Czy mógłbyś mi jeszcze pomóc rozwiązać przykład z innego zadania, który umieściłem w nowym temacie?
Pozdrawiam, majczalek