Pierwiastki wielomianu

Dex-terowa · Post autor: **Dex-terowa** » 10 lut 2013, o 21:32

Liczba \(\displaystyle{ z= -2i}\) jest pierwiastkiem wielomianu

\(\displaystyle{ W(z) = z ^{4} + 2z ^{3} + 6 ^{2} + 8z + 8}\)

Znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu W.

Robiąc to schematem Hornera doszłam do takiej postaci:

\(\displaystyle{ z ^{3}+(-2i+2)z ^{2}+(2-4i)z - 4i = 0}\)

i nie wiem co dalej.
może gdzieś błąd zrobiłam??
Pomóżcie, wytłumaczcie.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 lut 2013, o 21:33

Powinnaś znać też drugi pierwiastek - patrz na pierwszy.

Dex-terowa · Post autor: **Dex-terowa** » 10 lut 2013, o 21:37

To chodzi o tę regułkę:
"jeżeli liczba zespolona x jest pierw. wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to x(z kreska na górze) także jest pierwiastkiem tego wielomianu"
czyli drugim pierwiastkiem będzie
\(\displaystyle{ z _{2} = 2i}\) ?
A co dalej?
nie mam pomysłu, albo mam zaćmienie chwilowe.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 lut 2013, o 21:41

Dalej Horner i zostanie drugi stopień.

[edit] Pierwsze dzielenie mam inaczej niż Ty.

Dex-terowa · Post autor: **Dex-terowa** » 10 lut 2013, o 21:49

Wyszło mi

\(\displaystyle{ z _{3} = -1 -i}\)
\(\displaystyle{ z _{4} = -1 + i}\)

dobrze?

//edit//
ojej, to sprawdzę I Hornera jeszcze raz.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 lut 2013, o 21:54

Prawdopodobnie bierzesz do schematu pierwiastek z nie takim znakiem; jak zrobiłaś oba dzielenia (z błędem) to Ci dalej dobrze wyszło.

Dex-terowa · Post autor: **Dex-terowa** » 10 lut 2013, o 22:01

Liczyłam drugi raz i wyszło mi to samo:

\(\displaystyle{ z ^{3} + (-2i+2)z ^{2} + (-4i+2)z - 4i = 0}\)

w tabelce mam kolejno: 1,2,6,8,8

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 lut 2013, o 22:03

Ale z przodu wzięłaś \(\displaystyle{ -2i}\) a powinnaś \(\displaystyle{ +2i}\).

Dex-terowa · Post autor: **Dex-terowa** » 10 lut 2013, o 22:06

jak schodzę z wielomianu stopnia 4 na 3?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 lut 2013, o 22:09

Podali w zadaniu pierwiastek \(\displaystyle{ (-2i)}\); zatem do schematu bierzesz \(\displaystyle{ (+2i)}\).

Wynik po pierwszym dzieleniu (mój) : \(\displaystyle{ z^3+(2i+2)z^2+(2+4i)z+4i}\)

Dex-terowa · Post autor: **Dex-terowa** » 10 lut 2013, o 22:11

czyli do schematu podkładam ten który wyliczę?
ewentualnie wyznaczę?
nie ten co mam podany?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 lut 2013, o 22:14

Do schematu wpisujesz podany - ale z przeciwnym znakiem.

Dlatego jak miałaś \(\displaystyle{ (-2i)}\) ten pierwszy (a innego jeszcze nie znałaś) to musiałaś wstawić \(\displaystyle{ (+2i)}\).

Podziel sobie np \(\displaystyle{ x^2-3x+2}\) - wiedząc, że pierwiastkiem jest (1).

Dex-terowa · Post autor: **Dex-terowa** » 10 lut 2013, o 22:22

wtedy nie wychodzi.
dla jasności, bo już nie wiem o czym mowa:

\(\displaystyle{ W(z) = z ^{4} + 2z ^{3} + 6 ^{2} + 8z + 8}\)
i robiąc z tego tabelkę w pierwszym wierszu mam 1, 2, 6, 8, 8
i jak to będę liczyć podstawiając -2i to wychodzi na końcu 0, a podstawiając 2i nie wychodzi 0, czyli jest coś źle.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 lut 2013, o 22:24

W obu przypadkach wychodzi zero - bo obie te liczby są pierwiastkami - nie zawsze tak będzie.

Więc zwróciłem Ci uwagę na błąd jaki popełniasz.

Dex-terowa · Post autor: **Dex-terowa** » 10 lut 2013, o 22:41

Okey, jeszcze raz, krok po kroku:

biorąc ( -2i )
\(\displaystyle{ -2i \cdot (1) + 2 = -2i + 2}\)
\(\displaystyle{ -2i \cdot (-2i +2) + 6 = 4i ^{2} -4i + 6 = -4 -4i +6 = -4i + 2}\)
\(\displaystyle{ -2i \cdot (-4i + 2) + 8 = 8i ^{2} -4i + 8 = -8 -4i +8 = -4i}\)
\(\displaystyle{ -2i \cdot (-4i) + 8 = 8i ^{2} + 8 = -8 +8 = 0}\)

biorąc ( 2i )
\(\displaystyle{ 2i \cdot (1) + 2 = 2i + 2}\)
\(\displaystyle{ 2i \cdot (2i + 2) + 6 = 4i ^{2} + 4i + 6 = -4 + 4i + 6 = 4i + 2}\)
\(\displaystyle{ 2i \cdot (4i + 2) + 8 = 8i ^{2} + 4i + 8 = -8 + 4i + 8 = 4i}\)
\(\displaystyle{ 2i \cdot (4i) + 8 = 8i ^{2} + 8 = -8 + 8 = 0}\)

zgadza się, źle liczyłam, bardzo dziękuję za tę uwagę.
Ale wciąż nie bardzo rozumiem, który pierwiastek mam wziąć skoro znam 2.