wyznaczenie wartości parametru rzeczywistego p

kwiot · Post autor: **kwiot** » 10 lut 2013, o 21:23

Mam problem z zadaniem:
Wyznacz te wartości parametru rzeczywistego p, dla którego jest liniowo niezależny układ funkcji a,b,c,d, gdzie \(\displaystyle{ a(x)=x+p, b(x)=x-p, c(x)= x^{2} +p, d(x)= x^{2} -p,}\)

octahedron · Post autor: **octahedron** » 11 lut 2013, o 14:11

\(\displaystyle{ k_1a(x)+k_2b(x)+k_3c(x)+k_4d(x)=0\\\\
(k_3+k_4)x^2+(k_1+k_2)x+(k_1-k_2+k_3-k_4)p=0}\)

i dla dowolnego \(\displaystyle{ k\ne 0}\) dobierając \(\displaystyle{ k_1=k_4=k,\,k_2=k_3=-k}\) dostaniemy zero bez względu na wartość \(\displaystyle{ p}\), czyli układ jest zawsze zależny

kwiot · Post autor: **kwiot** » 11 lut 2013, o 19:05

czyli nie istnieją takie współczynniki k dla który mógłby być układ niezależny??

dlaczego dobieramy by \(\displaystyle{ k_{2}=k_{3}=-k}\) i \(\displaystyle{ k_{1}=k_{4}=k}\)

octahedron · Post autor: **octahedron** » 11 lut 2013, o 22:18

Układ jest niezależny, jeśli kombinacja liniowa tych funkcji jest tożsamościowo zerem tylko dla zerowych \(\displaystyle{ k}\). Jeśli istnieje taki zestaw \(\displaystyle{ k}\) niezerowych, to funkcje nie są niezależne. I tu pokazujemy, że taki zestaw istnieje dla dowolnego \(\displaystyle{ p}\).

kwiot · Post autor: **kwiot** » 11 lut 2013, o 22:29

czyli rozumiem że ten dobór jest właściwie przypadkowy...
mogliśmy sobie dobrać inne wartości k bo i tak układ równań wychodzi zależny. Tak?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 11 lut 2013, o 22:57

No nie bardzo. Wiesz co to jest układ niezależny?

kwiot · Post autor: **kwiot** » 12 lut 2013, o 23:20

W skrócie układ którego kombinacja liniowa równa jest zero.
dla wektorów sprawa jest dla mnie jasna do każdego wektora dopisuje współczynnik i przyrównuje do zera cały układ. Z powstającego układu równań wyliczam współczynniki i jeżeli są sobie równe i są równe 0 to znaczy że układ jest liniowo niezależny.
ale jakoś nie mogę sobie tego wyobrazić z funkcjami.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 13 lut 2013, o 00:59

Dla funkcji po prostu musi być zero dla każdego \(\displaystyle{ x}\).

kwiot · Post autor: **kwiot** » 14 lut 2013, o 17:41

Bardzo dziękuje za pomoc