Czy dyfeomorfizm musi być funkcją liniową?

[matmatmm]

Na tej stronie przeczytałem, że dyfeomorfizm jest funkcją nieosobliwą. Pytam się w takim razie, czy dyfeomorfizm musi być funkcją liniową. A jeśli nie, to jaka jest definicja funkcji nieosobliwej jeśli nie jest ona funkjcą liniową? Na wikipedii ( nie ma nic o nieosobliwości i wydaje mi się, że istnieją funkcje, które nie są liniowe i spełniają definicję z wikipedii.

[bartek118]

Nieosobliwość to moim zdaniem to samo, co odwracalność.

Dyfeomorfizm nie musi być liniowy - chociażby zamiana na współrzędne biegunowe nie jest liniowa.

[norwimaj]

Zapewne chodzi o to, że macierz różniczki w dowolnym punkcie jest nieosobliwa.

Punktami osobliwymi nazywa się, o ile dobrze pamiętam, punkty, w których macierz różniczki jest osobliwa. Chodzi więc o to, żeby wszystkie punkty dziedziny były regularne (nieosobliwe).

[matmatmm]

Odkopuję bo jedna rzecz tutaj budzi moje wątpliwości.

Dyfeomorfizm nie musi być liniowy - chociażby zamiana na współrzędne biegunowe nie jest liniowa.

Jak zdefiniowana jest zamiana na współrzędne biegunowe?
Czy jest to \(\displaystyle{ f:(0,+infty) imes [0,2pi)
ightarrow RR^2setminus{0}}\) dane wzorem
\(\displaystyle{ f(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi)}\)

Myślę, że owszem jest to ciągła bijekcja, ale funkcja odwrotna nie jest ciągła. Można wziąć ciąg punktów na okręgu jednostkowym w IV ćwiartce zbieżny do punktu \(\displaystyle{ (1,0)}\) i po przejściu przez funkcję odwrotną ten ciąg będzie zbieżny do \(\displaystyle{ (1,2\pi)}\), a nie do \(\displaystyle{ (1,0)}\) tak jak powinien.

[norwimaj]

Masz rację. Ale na przykład funkcja \(\displaystyle{ f}\) obcięta do zbioru \(\displaystyle{ (0,+\infty)\times (0,\pi)}\) jest dyfeomorfizmem. Prostym przykładem nieliniowego dyfeomorfizmu jest funkcja \(\displaystyle{ g:\RR\to\RR}\) dana wzorem: \(\displaystyle{ g(x)=2x+\sin x}\).

[AiDi]

Myślę, że owszem jest to ciągła bijekcja, ale funkcja odwrotna nie jest ciągła.

Musisz to zadać na odpowiednich zbiorach, to nie jest tak, że dasz maksymalne możliwe zbiory pokrywające najwięcej jak się da i jest fajnie. Zmiana układów współrzędnych z definicji musi być dyfeomorfizmem, i tak tez jest ze współrzędnymi biegunowymi.