Zna ktoś jakiś patent na szybkie potęgowanie macierzy, oczywiście poza wymnażaniem kolejnych potęg przez siebie.
Mam coś takiego:
Wyznacz \(\displaystyle{ A^{11} + A^{10}}\), gdy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0&0&1\\0&-1&0\\2&0&0\end{bmatrix}}\)
lub:
Wyznacz sumę wyrazów macierzy \(\displaystyle{ A^{19}}\), gdy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&0&1\\0&-1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}\)
Miałem to ostatnio na egzaminie i jakoś nie potrafię sobie z tym poradzić, ani znaleźć prostszego dojścia do wyniku wykluczając żmudne mnożenie. Zaznaczę, że są to przykłady od Mgr Pietraszko z pwr
Potęgowanie macierzy.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 6 lut 2013, o 20:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Potęgowanie macierzy.
Fachowa odpowiedź, niestety takiego wzoru w zeszycie brak, nie był podawany. Jeśli znasz to nic się nie stanie jak przytoczysz
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Potęgowanie macierzy.
Co Ty mi tu za ściemę walisz, jakby nie był podawany wzór to by prowadzący nie prosił o policzenie \(\displaystyle{ A^{11}}\)... Szybciej byś wzór znalazł niż czekał na moją odpowiedź.Atluck pisze:Fachowa odpowiedź, niestety takiego wzoru w zeszycie brak, nie był podawany. Jeśli znasz to nic się nie stanie jak przytoczysz
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 6 lut 2013, o 20:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Potęgowanie macierzy.
Nie jestem debilem, żeby prosić o coś co mam, lepiej wiem co było, a czego nie. Nie chcesz pomagać to się nie wypowiadaj najlepiej, zaoszczędzisz czas nas obu.kamil13151 pisze:Co Ty mi tu za ściemę walisz, jakby nie był podawany wzór to by prowadzący nie prosił o policzenie \(\displaystyle{ A^{11}}\)... Szybciej byś wzór znalazł niż czekał na moją odpowiedź.Atluck pisze:Fachowa odpowiedź, niestety takiego wzoru w zeszycie brak, nie był podawany. Jeśli znasz to nic się nie stanie jak przytoczysz
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 6 lut 2013, o 20:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Potęgowanie macierzy.
Diagonalizacji nie było, na listach zadań jest dział "Wartości i wektory własne macierzy", gdzie znajdują się całe 3 zadania, aczkolwiek temat ten na wykładzie, a tym bardziej na ćwiczeniach niestety nie został poruszony.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Potęgowanie macierzy.
Najogólniejszą metodą do potęgowania macierzy jest znalezienie ich postaci Jordana - a najlepiej jeśli macierz jest diagonalizowalna (i do tego właśnie przydają się wartości i wektory własne).
Skoro jednak ma być bez tych metod, to pozostaje wypisać parę pierwszych potęg i odgadnąć ogólną prawidłowość dla tych macierzy, a potem ewentualnie udowodnić ją indukcyjnie. W pierwszym przypadku mamy:
\(\displaystyle{ A^{2k} + A^{2k+1} = \begin{bmatrix} 2^k & 0 & 2^k \\ 0 & 0 & 0\\ 2^{k+1} & 0 & 2^k\end{bmatrix}}\)
a w drugim:
\(\displaystyle{ A^n = \begin{bmatrix} 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1} \\ 0 &(-1)^n& 0 \\ 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1}\end{bmatrix}}\)
Q.
Skoro jednak ma być bez tych metod, to pozostaje wypisać parę pierwszych potęg i odgadnąć ogólną prawidłowość dla tych macierzy, a potem ewentualnie udowodnić ją indukcyjnie. W pierwszym przypadku mamy:
\(\displaystyle{ A^{2k} + A^{2k+1} = \begin{bmatrix} 2^k & 0 & 2^k \\ 0 & 0 & 0\\ 2^{k+1} & 0 & 2^k\end{bmatrix}}\)
a w drugim:
\(\displaystyle{ A^n = \begin{bmatrix} 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1} \\ 0 &(-1)^n& 0 \\ 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1}\end{bmatrix}}\)
Q.