Potęgowanie macierzy.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Atluck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 lut 2013, o 20:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Potęgowanie macierzy.

Post autor: Atluck »

Zna ktoś jakiś patent na szybkie potęgowanie macierzy, oczywiście poza wymnażaniem kolejnych potęg przez siebie.

Mam coś takiego:

Wyznacz \(\displaystyle{ A^{11} + A^{10}}\), gdy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0&0&1\\0&-1&0\\2&0&0\end{bmatrix}}\)

lub:

Wyznacz sumę wyrazów macierzy \(\displaystyle{ A^{19}}\), gdy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&0&1\\0&-1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}\)

Miałem to ostatnio na egzaminie i jakoś nie potrafię sobie z tym poradzić, ani znaleźć prostszego dojścia do wyniku wykluczając żmudne mnożenie. Zaznaczę, że są to przykłady od Mgr Pietraszko z pwr
Ostatnio zmieniony 6 lut 2013, o 21:20 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Klamry [latex][/latex] nakładaj na całe wyrażenia matematyczne.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Potęgowanie macierzy.

Post autor: kamil13151 »

Przejrzyj zeszyt, na pewno miałeś wzór na \(\displaystyle{ A^n}\).
Atluck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 lut 2013, o 20:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Potęgowanie macierzy.

Post autor: Atluck »

Fachowa odpowiedź, niestety takiego wzoru w zeszycie brak, nie był podawany. Jeśli znasz to nic się nie stanie jak przytoczysz
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Potęgowanie macierzy.

Post autor: kamil13151 »

Atluck pisze:Fachowa odpowiedź, niestety takiego wzoru w zeszycie brak, nie był podawany. Jeśli znasz to nic się nie stanie jak przytoczysz
Co Ty mi tu za ściemę walisz, jakby nie był podawany wzór to by prowadzący nie prosił o policzenie \(\displaystyle{ A^{11}}\)... Szybciej byś wzór znalazł niż czekał na moją odpowiedź.
Atluck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 lut 2013, o 20:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Potęgowanie macierzy.

Post autor: Atluck »

kamil13151 pisze:
Atluck pisze:Fachowa odpowiedź, niestety takiego wzoru w zeszycie brak, nie był podawany. Jeśli znasz to nic się nie stanie jak przytoczysz
Co Ty mi tu za ściemę walisz, jakby nie był podawany wzór to by prowadzący nie prosił o policzenie \(\displaystyle{ A^{11}}\)... Szybciej byś wzór znalazł niż czekał na moją odpowiedź.
Nie jestem debilem, żeby prosić o coś co mam, lepiej wiem co było, a czego nie. Nie chcesz pomagać to się nie wypowiadaj najlepiej, zaoszczędzisz czas nas obu.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Potęgowanie macierzy.

Post autor: »

A diagonalizacji, wartości własnych, wektorów własnych też nie było na zajęciach?

Q.
Atluck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 lut 2013, o 20:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Potęgowanie macierzy.

Post autor: Atluck »

Diagonalizacji nie było, na listach zadań jest dział "Wartości i wektory własne macierzy", gdzie znajdują się całe 3 zadania, aczkolwiek temat ten na wykładzie, a tym bardziej na ćwiczeniach niestety nie został poruszony.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Potęgowanie macierzy.

Post autor: »

Najogólniejszą metodą do potęgowania macierzy jest znalezienie ich postaci Jordana - a najlepiej jeśli macierz jest diagonalizowalna (i do tego właśnie przydają się wartości i wektory własne).

Skoro jednak ma być bez tych metod, to pozostaje wypisać parę pierwszych potęg i odgadnąć ogólną prawidłowość dla tych macierzy, a potem ewentualnie udowodnić ją indukcyjnie. W pierwszym przypadku mamy:
\(\displaystyle{ A^{2k} + A^{2k+1} = \begin{bmatrix} 2^k & 0 & 2^k \\ 0 & 0 & 0\\ 2^{k+1} & 0 & 2^k\end{bmatrix}}\)
a w drugim:
\(\displaystyle{ A^n = \begin{bmatrix} 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1} \\ 0 &(-1)^n& 0 \\ 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1}\end{bmatrix}}\)

Q.
ODPOWIEDZ