macierz odwrotna

[rysiu007]

Witajcie,

proszę o pomoc.

Należy obliczyć macierz odwrotną :
\(\displaystyle{ \begin{cases}
4x+z=-1\\
y+z=-1\\
3x-2y=-1
\end{cases}
\begin{bmatrix}
4& 0& 1& -1\\
0& 0& 1& -1\\
3&-2& 0& -1
\end{bmatrix}}\)
Wychodzi mi macierz 3x4. Jak obliczyć z tego macierz odwrotną ?

[smigol]

Macierz odwrotna z definicji istnieje tylko dla macierzy kwadratowych.

[rysiu007]

Właśnie w tym problem. Z macierzami kwadratowymi nie mam żadnych problemów, a tutaj nie mam pojęcia jak się zabrać za rozwiązanie tego zadania ...

A gdyby doprowadzić tą macierz do takiej formy :

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&0&0&x\\0&1&0&y\\0&0&1&z\\\end{array}\right|}\)

[konrad509]

Tak ja Ci napisał smigol, macierz odwrotna istnieje tylko dla macierzy kwadratowej. Może masz obliczyć macierz odwrotną do macierzy głównej? Czyli bez tych \(\displaystyle{ -1}\)?-- 6 lut 2013, o 15:57 --Może o takie coś chodzi:
58950.htm
284320.htm

[TinoZubek]

Tak jak zauważył to konrad układ równań zapisany z postaci macierzowej powinien wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&0&1\\0&1&1\\3&-2&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1\\-1\\-1\end{array}\right]}\),


Z tego obliczamy macierz odwrotną:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&0&1\\0&1&1\\3&-2&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0& \frac{1}{4} \\0&1&1\\3&-2&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{4} &0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0& \frac{1}{4} \\0&1&1\\0&-2&- \frac{3}{4} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{4} &0&0\\0&1&0\\- \frac{3}{4} &0&1\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0& \frac{1}{4} \\0&1&1\\0&0& \frac{5}{4} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{4} &0&0\\0&1&0\\- \frac{3}{4} &2&1\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0& \frac{1}{4} \\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{4} &0&0\\0&1&0\\- \frac{3}{5} & \frac{8}{5} & \frac{4}{5} \end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0 \\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{5} &- \frac{2}{5} &- \frac{1}{5} \\0&1&0\\- \frac{3}{5} & \frac{8}{5} & \frac{4}{5} \end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{5} &- \frac{2}{5} &- \frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} &- \frac{3}{5} &- \frac{4}{5} \\- \frac{3}{5} & \frac{8}{5} & \frac{4}{5} \end{array}\right]}\),

czyli:

\(\displaystyle{ A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{5} &- \frac{2}{5} &- \frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} &- \frac{3}{5} &- \frac{4}{5} \\- \frac{3}{5} & \frac{8}{5} & \frac{4}{5} \end{array}\right]}\)

więc:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] = A^{-1} \cdot \left[\begin{array}{ccc}-1\\-1\\-1\end{array}\right]}\),

co po wymnożeniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{5} \\ \frac{4}{5} \\- \frac{9}{5} \end{array}\right]}\)

Może trochę późno z rozwiązaniem, ale może przydać się komuś na przyszłośc .