Niech \(\displaystyle{ A = \left|\begin{array}{ccc}1&2\\2&3\\ \end{array}\right|}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ B = (A - I0 \cdot ( A^{-1} + I)}\)
oraz \(\displaystyle{ det (2 \cdot B^{3}) \cdot (I = \left|\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\ \end{array}\right| )}\)
Znaleźć B z macierzy
Znaleźć B z macierzy
Ostatnio zmieniony 5 lut 2013, o 21:19 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
konrad509
- Użytkownik
- Posty: 1841
- Rejestracja: 5 mar 2012, o 14:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :D
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 323 razy
Znaleźć B z macierzy
\(\displaystyle{ \det A=1\cdot3-2\cdot2=3-4=-1 \Rightarrow \hbox{macierz odwrotna istnieje}}\)
Liczymy \(\displaystyle{ A^{-1}}\).
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(A^D\right)^T}\)
Liczymy macierz dopełnień \(\displaystyle{ A^D}\):
\(\displaystyle{ a_{11}=(-1)^{1+1}\cdot3=1\cdot3=3\\
a_{12}=(-1)^{1+2}\cdot2=-1\cdot2=-2\\
a_{21}=(-1)^{2+1}\cdot2=-1\cdot2=-2\\
a_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1=1\cdot1=1\\
A^D=\left|\begin{array}{ccc}3&-2\\-2&1\\ \end{array}\right|}\)
Transponujemy macierz:
\(\displaystyle{ \left(A^D\right)^T=\left|\begin{array}{ccc}3&-2\\-2&1\\ \end{array}\right|}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{-1}\left|\begin{array}{ccc}3&-2\\-2&1\\ \end{array}\right|\\
A^{-1}=\left|\begin{array}{ccc}-3&2\\2&-1\\ \end{array}\right|}\)
\(\displaystyle{ B=\left(\left|\begin{array}{ccc}1&2\\2&3\\ \end{array}\right|- \left|\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\ \end{array}\right|\right)\left(\left|\begin{array}{ccc}-3&2\\2&-1\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\ \end{array}\right|\right)\\
B=\left|\begin{array}{ccc}0&2\\2&2\\ \end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{ccc}-2&2\\2&0\\ \end{array}\right|\\
B=\left|\begin{array}{ccc}4&0\\0&4\\ \end{array}\right|}\)
-- 5 lut 2013, o 23:34 --
\(\displaystyle{ B^3=\left|\begin{array}{ccc}4&0\\0&4\\ \end{array}\right|^3=\left|\begin{array}{ccc}64&0\\0&64\\ \end{array}\right|}\) Macierz \(\displaystyle{ B}\) jest macierzą diagonalną, a więc przy potęgowaniu tej macierzy wystarczy spotęgować elementy na głównej przekątnej.
\(\displaystyle{ 2B^3=2\left|\begin{array}{ccc}64&0\\0&64\\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}128&0\\0&128\\ \end{array}\right|\\
\det 2B^3=128^2=16384\\
\det(2 \cdot B^{3}) \cdot \left(I = \left|\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\ \end{array}\right| \right)=
16384\cdot\left|\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\ \end{array}\right|=
\left|\begin{array}{ccc}16384&0\\0&16384\\ \end{array}\right|}\)
Nie wiem czy wszystko dobrze zrobiłem.-- 6 lut 2013, o 14:22 --Macierz odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) można wyznaczyć prościej.
Jeżeli \(\displaystyle{ A=\left|\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\ \end{array}\right|}\),
to \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left|\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\\ \end{array}\right|}\)
Liczymy \(\displaystyle{ A^{-1}}\).
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(A^D\right)^T}\)
Liczymy macierz dopełnień \(\displaystyle{ A^D}\):
\(\displaystyle{ a_{11}=(-1)^{1+1}\cdot3=1\cdot3=3\\
a_{12}=(-1)^{1+2}\cdot2=-1\cdot2=-2\\
a_{21}=(-1)^{2+1}\cdot2=-1\cdot2=-2\\
a_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1=1\cdot1=1\\
A^D=\left|\begin{array}{ccc}3&-2\\-2&1\\ \end{array}\right|}\)
Transponujemy macierz:
\(\displaystyle{ \left(A^D\right)^T=\left|\begin{array}{ccc}3&-2\\-2&1\\ \end{array}\right|}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{-1}\left|\begin{array}{ccc}3&-2\\-2&1\\ \end{array}\right|\\
A^{-1}=\left|\begin{array}{ccc}-3&2\\2&-1\\ \end{array}\right|}\)
\(\displaystyle{ B=\left(\left|\begin{array}{ccc}1&2\\2&3\\ \end{array}\right|- \left|\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\ \end{array}\right|\right)\left(\left|\begin{array}{ccc}-3&2\\2&-1\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\ \end{array}\right|\right)\\
B=\left|\begin{array}{ccc}0&2\\2&2\\ \end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{ccc}-2&2\\2&0\\ \end{array}\right|\\
B=\left|\begin{array}{ccc}4&0\\0&4\\ \end{array}\right|}\)
-- 5 lut 2013, o 23:34 --
\(\displaystyle{ B^3=\left|\begin{array}{ccc}4&0\\0&4\\ \end{array}\right|^3=\left|\begin{array}{ccc}64&0\\0&64\\ \end{array}\right|}\) Macierz \(\displaystyle{ B}\) jest macierzą diagonalną, a więc przy potęgowaniu tej macierzy wystarczy spotęgować elementy na głównej przekątnej.
\(\displaystyle{ 2B^3=2\left|\begin{array}{ccc}64&0\\0&64\\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}128&0\\0&128\\ \end{array}\right|\\
\det 2B^3=128^2=16384\\
\det(2 \cdot B^{3}) \cdot \left(I = \left|\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\ \end{array}\right| \right)=
16384\cdot\left|\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\ \end{array}\right|=
\left|\begin{array}{ccc}16384&0\\0&16384\\ \end{array}\right|}\)
Nie wiem czy wszystko dobrze zrobiłem.-- 6 lut 2013, o 14:22 --Macierz odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) można wyznaczyć prościej.
Jeżeli \(\displaystyle{ A=\left|\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\ \end{array}\right|}\),
to \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left|\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\\ \end{array}\right|}\)