Jakie wartości może mieć wyznacznik macierzy

[Swistakowy]

Witam. Posiadam takie zadanie, do którego nie wiem jak się zabrać:

Elementami macierzy \(\displaystyle{ A}\) są liczby rzeczywiste. Ponadto wiadomo, że \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) spełniającą warunek \(\displaystyle{ A^{4} = 3A}\).
Jakie wartości może mieć wyznacznik tej macierzy?

[yorgin]

Na wstępie widać, że wyznacznik zerowy spełnia warunek.

Następnie, korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \det AB=\det A \cdot \det B}\) widać, że warunek po obłożeniu wyznacznikiem przechodzi do postaci

\(\displaystyle{ (\det A)^4=3\det A}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ x=\det A}\) i mamy równanie stopnia 4.:

\(\displaystyle{ x^4=3x}\)

[omicron]

\(\displaystyle{ \det(3A)=3^n\det(A)\neq3\det(A)}\)

[yorgin]

Ha faktycznie, jak to czasem człowiek zapomina proste rzeczy. Wielka szkoda, że sam autor po moim komentarzu nic nie napisał.

Dzięki za zwrócenie uwagi

[Swistakowy]

Dzięki wielkie za pomoc. Nie znałem z wykładów tej własności więc nie sądziłem że to aż tak proste.

[yorgin]

Ta własność wynika z liniowości wyznacznika względem kolumn/wierszy. Skoro każdy wiersz jest pomnożony przez stałą wartość \(\displaystyle{ c}\), to z liniowości wyciągamy \(\displaystyle{ n \times c}\) ze wszystkich wierszy, co daje dokładnie \(\displaystyle{ c^n}\) przez całym wyznacznikiem.