Znaleźć wektor mając dany jego rzut...

[Grypho]

W przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R^{4}}\) dany jest rzut prostopadły \(\displaystyle{ \vec{u}_{W}=(1,1,-1,-1)}\)wektora\(\displaystyle{ \vec{u}}\) na podprzestrzeń określoną równaniem \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0}\).Znajdź wektor\(\displaystyle{ \vec{u}}\)jesli wiadomo, że kąt jaki tworzy z podprzestrzenią \(\displaystyle{ W}\)wynosi\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\), a wszystkie jego składowe są dodatnie.
Najpierw chyba trzeba wyznaczyć wektory rozpinające tą przestrzeń, ale za bardzo nie wiem jak to zrobić. Próbowałem tak
\(\displaystyle{ x_{1}=-x_{2}-x_{3}-x_{4}}\)
i wtedy mamy wektory
\(\displaystyle{ (0,-1,-1,-1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)(0,0,0,1)}\). Czy to jest dobrze? Proszę o pomoc w tym zadaniu.

[lukasz1804]

Skoro \(\displaystyle{ x_1=-x_2-x_3-x_4}\), to \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(-x_2-x_3-x_4,x_2,x_3,x_4)=x_2(-1,1,0,0)+x_3(-1,0,1,0)+x_4(-1,0,0,1)}\). Zatem \(\displaystyle{ W=lin\left((-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)\right)}\).

Niech \(\displaystyle{ \vec{u}=(a,b,c,d)}\).

Dalej mamy \(\displaystyle{ (1,1,-1,-1)=\frac{-a+b}{2}(-1,1,0,0)+\frac{-a+c}{2}(-1,0,1,0)+\frac{-a+d}{2}(-1,0,0,1)}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ |\angle(\vec{u},W)|=\frac{\pi}{3}}\), to mamy też \(\displaystyle{ -a+b=-a+c=-a+d=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}}}\).

[Grypho]

Mamy \(\displaystyle{ \vec{u}=(a,b,b,b)}\)
oraz
\(\displaystyle{ a^{2}-4ab-b^{2}=0}\)
Co dalej?

[lukasz1804]

Przepraszam, że wprowadziłem w błąd. Ten warunek z kątem powinien być inny. Dany kąt jest zawarty między \(\displaystyle{ \vec{u}}\) a jego rzutem. Ten warunek wraz z pierwszym doprowadzi do rozwiązania. Wykorzystaj iloczyn skalarny.

[Grypho]

Czyli pierwsze zostaje tak samo, a co z drugim się dzieje?

[Grypho]

Odświeżam temat, mając nowe podejście.
Czy da się obliczyć ten wektor za pomocą macierzy rzutującej i wzoru na rzut
\(\displaystyle{ P_{W}u=\lambda_{1} W_{1} +\lambda_{2} W_{2} + \lambda_{3} W_{3}}\)
i zależności
\(\displaystyle{ G\begin{pmatrix} \lambda_{1} \\\lambda_{2}\\\lambda_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} uW_{1} \\ uW_{2}\\ uW_{3}\end{pmatrix}}\) ?
Gdzie G to macierz Grama
Jeśli nie to prosze o podpowiedź co do wykonania tego zadania.