Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
matpol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 7 sty 2013, o 12:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 1 raz

Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Post autor: matpol »

Mam dwa zadania

1. Niech \(\displaystyle{ H=R^{2}}\) , a iloczyn skalarny dany jest wzorem \(\displaystyle{ ((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}) = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}- \frac{1}{2}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}\). Zastosuj ortonormalizację Grama-Schmidta do wektorów\(\displaystyle{ ((1,1),(0,1))}\).
2. Sprawdzić czy funkcja \(\displaystyle{ S((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))= x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}}\) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej\(\displaystyle{ R^{2}}\).

W zadaniu drugim sprawdzam normalnie z definicji? Tylko jak to zapisać?
A pierwsze zadanie trochę nei wiem jak "ugryźć".
Mógłby ktoś prosto wytłumaczyć?
Ostatnio zmieniony 5 lut 2013, o 12:37 przez pyzol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Post autor: yorgin »

1. Masz wzór na iloczyn skalarny. Sprawdź sobie algorytm ortogonalizacji. Wystarczy podstawić do wzoru. Schematy są w każdej książce z algebry/internecie/wiki.

2. Sprawdzasz warunki z definicji. Jak to zapisać? Wykorzystując wzór, który masz podany.
matpol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 7 sty 2013, o 12:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 1 raz

Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Post autor: matpol »

Mam funkcję \(\displaystyle{ x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}}\)
Przykładowo, aby sprawdzić symetryczność sprawdzam czy zachodzi \(\displaystyle{ y_{1}x_{1}+2y_{2}x_{2}}\)?
Mam problem z zadaniami z ortonormalizacji czy ortogonalizacji GS, prosiłabym chociaż o rozwiązanie dla jednego wektora.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Post autor: yorgin »

W definicji symetrii zamieniasz po prostu \(\displaystyle{ x_1\to y_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2\to y_2}\). Tak więc dobrze napisałaś.

Ortonorlamizujemy:
\(\displaystyle{ x=(1,1), y=(0,1)}\)

Najpierw

\(\displaystyle{ x=(1,1)}\)

Normujemy

\(\displaystyle{ ||x||^2=||(1,1)||^2=1+1-\frac{1}{2}(1+1)=1}\)

\(\displaystyle{ u=\frac{x}{||x||}=(1,1)}\)

Teraz drugi wektor:

\(\displaystyle{ v'=y-\langle y,u\rangle u=\ldots}\)

i jego unormowanie

\(\displaystyle{ v=\frac{v}{||v||}=\ldots}\)

Na wiki

jest też przykład dla dwóch wektorów.
matpol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 7 sty 2013, o 12:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 1 raz

Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Post autor: matpol »

Czy to będzie tak?
\(\displaystyle{ v^{'}=(0,1)-((0,1)|u)u}\)
\(\displaystyle{ ((0,1)|u)=(0,1)(1,1)=(0,0)}\)
\(\displaystyle{ v= \frac{v'}{||v'||}=(0,0)}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Post autor: yorgin »

\(\displaystyle{ ((0,1)|u)=(0,1)(1,1)=(0,0)}\)
Co to w ogóle jest? Jak to się ma do iloczynu skalarnego?
Ukryta treść:    
matpol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 7 sty 2013, o 12:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 1 raz

Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Post autor: matpol »

Napisałam, że nie rozumiem ortonormalizacji i poprosiłam o normalne wytłumaczenie całego zadania.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Post autor: yorgin »

To, za co skrytykowałem, nie dotyczy ortonormalizacji, a podstawienia do wzoru na iloczyn skalarny.

Masz policzyć

\(\displaystyle{ \langle (0,1),(1,1) \rangle}\)

zgodnie z definicją przyjętą na początku.

Nie wiem, jak może wyjść coś innego, jak to:

\(\displaystyle{ \langle (0,1),(1,1) \rangle= 0\cdot 1+1\cdot 1-\frac{1}{2}(0\cdot 1+1\cdot 1)=\frac{1}{2}}\)

Szczególnie, że wynikiem ma być skalar (sama nazwa iloczyn skalarny to mówi..), a nie wektor.

Potem

\(\displaystyle{ v'= (0,1)-\frac{1}{2}(1,1)=\ldots}\)
matpol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 7 sty 2013, o 12:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 1 raz

Ortonormalizacja GS, iloczyn skalarny

Post autor: matpol »

Mam problem z definicjami typu tych na wikipedii, więc stąd moja głupota, chyba zbyt wystraszyłam się tego zadania, bo własnie uświadomiłam sobie tą głupotę z iloczynem skalarnym...
Dziękuję za pomoc i cierpliwość ;P
ODPOWIEDZ