Homomorfizm, obraz, jądro

[Kajtek__]

Mam takie oto zadanie:
1.Wskazac, ktore z podanych odwzorowan przeksztalcaja homomorficznie grupe (Z, +) na jej podgrupe oraz podac jadra i obrazy tych homomorfizmow.
a) f(x)=3x
b) f(x)=ax i a nalezy do N
c) f(x)=-x

sprawdzilam ze te odwzorowania sa homomorficzne ... ale jak mam wyznaczyc jadro i obraz ... prosze o jakies "chlopskie" rozumowanie ... z tego co mi sie obilo o uszy to chyba obraz to jest przeciwdziedzina tak? prosze o pomoc ....

I mam jeszcze jedno zadanie:

2) Wskazac (jesli istnieje) homomorfizm grupy G w grupe H jesli:
a) G=(Z,+), H=(Q,+)
b) G=(Q,+), H=(Z,+)
c) G=(Q,+), H=(Q,*) (* to mnozenie)
d) G=(R,+), H=(R{0},*)

no i nie wiem jak to zrobic... po co mi jest potrzebna wiadomosc ze np. w przypadku a) G to grupa z dodawaniem z calkowitych a w H ze dod. w wymiernych?

wielkie dzieki za pomoc !

[Ewa 20]

Jądro homomorfizmu to wszystkie x dla których f(x)=0, przy czym ze 0 jest zerem przestrzeni do której należy zbiór wartości funkcji. A więc, w przykładzie a) f(x)=0 wtw. gdy 3x=0 ↔ x=0. Zatem jądro homomorfizmu jest jednoelementowe i jest nim zbiór {0}. Obrazem homomorfizmu faktycznie jest przeciwdziedzina funkcji, a więc w tym przypadku zbiór liczb całkowitych. Podobnie w przykładach b) i c).

[ Dodano: 25 Marzec 2007, 20:31 ]
Zad.2)
a)Niech x będzie dowolna liczbą całkowitą. Można określić funkcję f(x)=x/a, gdzie a jest dowolną liczbą naturalną ( liczby naturalne rozpatruję od 1, bez 0).