Podprzestrzenie linniowe

laser15 · Post autor: **laser15** » 1 lut 2013, o 10:24

Witam. Mam takie zadanie ale nie mam pojęcia jak je zrobić. Proszę o pomoc.
1)
Niech \(\displaystyle{ V={(x_1,x_2,x_3,x_4) \in R^4:2x_1-x_2+x_3=0, \ \mbox\ \ -x_2+2x_4=0}}\)
oraz \(\displaystyle{ W=\Lin \{ (-1,2,4,1),(3,-2,-8,-1),(-2,2,6,1) \}}\) Zbadać czy \(\displaystyle{ V=W}\) oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ V \cap W}\)

2)Niech \(\displaystyle{ V_1}\) oraz \(\displaystyle{ V_2}\) będą podprzestrzeniami wektorowymi w \(\displaystyle{ R^n}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ V={v \in R^n:v=v_1+v_2; gdzie\ \mbox\ \ v_1 \in V_1,v_2 \in V_2}}\) jest podprzestrzenią w \(\displaystyle{ R^n}\)

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 1 lut 2013, o 10:27

W czym leży problem?

laser15 · Post autor: **laser15** » 1 lut 2013, o 11:21

no nie mam pojęcia jak je zrobić . Mógłby ktoś mi to wytłumaczyć?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 1 lut 2013, o 11:22

Po pierwsze - wyznacz bazę \(\displaystyle{ V}\) i wyznacz bazę \(\displaystyle{ W}\).

laser15 · Post autor: **laser15** » 1 lut 2013, o 21:15

Baza

\(\displaystyle{ V=x_2 \left( \frac{1}{2},1,0,\frac{1}{2} \right) x_3 \left( -\frac{1}{2},0,1,0 \right)}\)

A co z W? Sprawdzić czy są niezależne te 3 wektory czy co ? Jak wyznaczyć tą bazę ? Co dalej ?

-- 6 lut 2013, o 16:00 --

Proszę o pomoc. Jak znaleźć część wspólną ?

laser15 · Post autor: **laser15** » 21 lut 2013, o 12:13

Ponawiam prośbę. Jak wyznaczyć część wspólną ?

Post autor: **Dasio11** » 23 lut 2013, o 16:50

Najpierw trzeba sprawdzić, że

\(\displaystyle{ (-1,2,4,1),(3,-2,-8,-1),(-2,2,6,1),}\)

spełniają równania określające zbiór \(\displaystyle{ V,}\) a zatem należą do \(\displaystyle{ V.}\)
Potem: \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową i

\(\displaystyle{ \{ (-1,2,4,1),(3,-2,-8,-1),(-2,2,6,1) \} \subseteq V,}\)

zatem

\(\displaystyle{ W=\Lin \{ (-1,2,4,1),(3,-2,-8,-1),(-2,2,6,1) \} \subseteq \Lin V = V.}\)

A stąd \(\displaystyle{ W \cap V = W.}\)