Macierz - warunki związane z wyznacznikiem

[pytajnik_jest_zajety]

Witam,
mam za zadanie udowodnić, że wyznacznik określonej macierzy jest podzielny przed daną liczbę a (np. 5). Haczyk polega na tym, że nie mogę policzyć tego wyznacznika a jedynie posiłkować się pewnym warunkami związanym z wyznacznikiem i na ich podstawie udowodnić podzielność wyznacznika przez a.
Co do samej macierzy to wszystko jedno jak ona będzie wyglądać - domyślam się, że istnieje rozwiązanie uniwersalne (w końcu mam bazować na własnościach).

I tu pojawia się pytanie: jakie to własności? Poszukiwania w sieci na nie wiele się zdały.
Gdyby ktoś zechciał podzielić się informacjami na ten temat byłbym zobowiązany, gdyby ktoś pokusił się o krótkie wytłumaczenie byłbym naprawdę wdzięczny.

PS. Mam czas z tym do jutra

[miodzio1988]

a jak ta macierz jest określona?

[pytajnik_jest_zajety]

Nie jest w żaden sposób określona - posłużmy się dla przykładu np. taką:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&1&-2\\3&-4&-3\\-2&6&2\end{array}\right]}\)

Po wyliczeniu uzyskujemy wyznacznik równy -40, więc jest on podzielny przez 5. Problem w tym, że ja nie mogę go policzyć

[miodzio1988]

Ty serio mowisz? A jak wyznacznik wyjdzie \(\displaystyle{ 3}\) to co wtedy?

[pytajnik_jest_zajety]

Ty serio mowisz? A jak wyznacznik wyjdzie \(\displaystyle{ 3}\) to co wtedy?

To wtedy nie jest podzielny.
Chodzi mi o dzielenie bez reszty, wiadomo, że każdą liczbę przez każdą na upartego podzielisz (no, może z wyjątkiem dzielenia przez zero).

[miodzio1988]

to jeszcze raz wyjasnij o co chodzi

[pytajnik_jest_zajety]

Sprawdź czy wyznacznik poniższej macierzy jest podzielny bez reszty przez 5.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&1&-2\\3&-4&-3\\-2&6&2\end{array}\right]}\)


Dodatkowy warunek: nie wolno wam policzyć wyznacznika.

Jak rozumiesz - gdybym mógł sobie policzyć wyznacznik to to zadanie byłoby banalnie proste. A trudność w nim polega właśnie na tym, że trzeba znaleźć inny sposób by dowiedzieć się czy wyznacznik jest podzielny przez 5 czy nie.
Z samą macierzą można robić co się chce - byle oczywiście nie zmienić jej wartości wyznacznika

[miodzio1988]

eliminacja Gaussa do postaci diagonalnej

[pytajnik_jest_zajety]

Eee ... a jeżeli mogę jeszcze dopytać: to jedyne rozsądne rozwiązanie czy pierwsze, które przyszło Ci do głowy?
Pytam ponieważ szczerze powiedziawszy nie mieliśmy metody Gaussa więc trochę mnie dziwi, że musimy zastosować metodę, której nie było w materiale.

[miodzio1988]

a co mieliscie?

[pytajnik_jest_zajety]

Hmm ... równanie Cramera, działania na macierzach (dodawania, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie, transpozycja), wyznaczanie macierzy odwrotnej, wyznaczanie rzędów macierzy, zerowanie wierszy, kolumn, liczenie wyznaczników. Zwykle zamykaliśmy się w macierzach maksymalnie 4x4, głównie pracowaliśmy na 3x3.

[miodzio1988]

zerowanie wierszy, kolumn,

i jak to robiliście? Przez operacje na wierszach?

[pytajnik_jest_zajety]

zerowanie wierszy, kolumn,

i jak to robiliście? Przez operacje na wierszach?

Tak

[miodzio1988]

Gauss to wlasnie ioperacje na wierszach

[pytajnik_jest_zajety]

Aha, szkoda, że zapomnieli nam o tym wspomnieć :/
Dzięki w takim razie za podsunięcie pomysłu na rozwiązanie.